Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Маша выписала на доске подряд все натуральные числа от 
до 
Пришёл Ваня и заменил каждое из этих чисел суммой его цифр.
Пришла Таня и сделала то же самое с получившимися числами. Так продолжалось до тех пор, пока на доске не осталось 
однозначных чисел (цифр). Какова сумма всех оставшихся чисел?
Источники:
Подсказка 1
Хмм… В задаче фигурирует число и его сумма цифр… А что мы знаем про число и его сумму цифр?
Подсказка 2
Верно! Что они сравнимы по модулю 9. То есть если мы возьмем число, а потом заменим его, на его сумму цифр, то остаток mod 9 не поменяется. А если еще раз так сделаем? А еще? Что тогда в конечном итоге останется от изначального числа?
Подсказка 3
Да, останется остаток числа при делении на 9. Для всех чисел. Остается теперь правильно посчитать сумму остатков чисел от 2 до 2015 и задача решена!
Первое решение.
При взятии суммы цифр не меняется остаток при делении числа на 
. Поскольку все выписанные числа были положительными, то 
получиться не может и если число было кратно 
, то вместо него останется цифра 
. Поэтому остаётся посчитать количество остатков
каждого вида.
Заметим, что 
кратно 
, 
, тогда если взять числа от 
, до 
, то получится 
подряд набора вида 
,
сумма всех полученных чисел будет равна 
. Но мы не брали числа 
и 
, потому нужно вычесть из суммы 
, откуда и
получаем ответ 
.
Второе решение.
Число 
и сумма цифр числа 
при делении на 9 дают одинаковые остатки, поэтому в итоге на доске останется ряд чисел:
, 2 , и так далее. Так как 
, то в этом ряду 223 раза встретится последовательность от 1 до 9 и
будет ещё 7 цифр. Значит, ряд заканчивается цифрой 8, и искомая сумма чисел равна 
.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное обучение
в Школково
Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
