Для отслеживания движения жучка будем использовать частичную развертку куба, покрывающую грани. Каждый квадратик будем обозначать двузначным числом, 1-я и 2-я цифры которого являются соответствующими координатами центра квадратика на развертке (единица — ширина квадратика):

Маршрут жучка определяется его начальным положением и направлением его первого перемещения. Хотя всего таких вариантов их все можно разбить на принципиально различных групп:

1) Жучок стартует с центрального квадратика любой грани по направлению к любому ребру

2-3) Старт с углового квадратика любой грани, а первое перемещение в пределах той же грани вдоль ребра, идущего соответственно справа или слева от жучка

4-5) Старт с углового квадратика любой грани, а при первом перемещении жучок переползает на соседнюю грань, причем третья примыкающая грань остается соответственно справа или слева от него

6) Старт с приреберного квадратика любой грани по направлению к центру

7) Старт с приреберного квадратика любой грани с переходом на соседнюю грань при первом перемещении

8-9) Старт с приреберного квадратика любой грани, а первое перемещение в пределах той же грани вдоль ребра, идущего соответственно справа или слева от жучка

Заполним таблицу, в которой для каждой группы приведем пример маршрута в течение того времени, когда обнаруживается его периодичность, т.е. когда на какой-либо четной секунде жучок оказывается на начальном квадратике, а еще через с — на квадратике, где он был через с после начала движения.

В случае группы выберем для старта квадратик с первым перемещением и проследим весь маршрут, пока не обнаружим, что его период равен c (1-я колонка таблицы после двойной вертикальной черты).

Заметим, что через c после начала движения жучок окажется в начальном состоянии группы Поэтому для нее маршрут также будет иметь период с и его можно получить из маршрута группы сдвигом на с.

Еще через с жучок окажется в начальном состоянии группы Поэтому и для нее маршрут будет с периодом с и его можно получить из маршрута группы сдвигом на с.

Еще через с имеем начальное состояние группы и получаем ее маршрут с периодом с из маршрута группы сдвигом на с.

Для остальных групп получаются кольцевые маршруты с периодом с, причем в течение одного периода жучок ни на одном квадратике не оказывается дважды.

Так как (остаток от деления на равен ) и (остаток от деления на равен то через с после начала движения жучок окажется на том же квадратике, на котором он был через с после начала, а за с до этого — на том же квадратике, на котором он был через с после начала.

Как видно из таблицы, такое совпадение имеет место только для группы (квадратик Так как этот квадратик встречается на маршруте только дважды в течение периода ( с и с), следующее попадание на него произойдет через (с).

Пусть — центр окружности основания конуса, радиуса - центр одного из шаров радиуса — точка касания этого шара с плоскостью основания, — точка касания соседнего шара с плоскостью основания конуса. Значит, из треугольника можем получить

Так как каждый шар касается двух соседних, то точки касания этих шаров с плоскостью основания конуса расположены в вершинах правильного 11-угольника вписанного в окружность с центром в точке радиуса и стороной, равной Поэтому

Обозначив точку пересечения с плоскостью через , получим . В пересечении сферы с плоскостью получается некоторая окружность. Проведём через диаметр этой окружности. Тогда и — хорды сферы, и по свойству пересекающихся хорд: . Так как , то минимальный радиус окружности больше или равен и значение достигается при , то есть центр этой окружности. Так как , то При этом Значит,

Обозначим через радиус шара, а через и — середины рёбер и соответственно. Плоскость есть центральное сечение шара. Пусть — высота цилиндра, тогда радиус его основания равен . Пусть — точка пересечения отрезков и . Справедливы соотношения , где центр шара. Если — проекция точки на основание цилиндра, то из подобия прямоугольных треугольников и получаем

Тогда Значит, . Площадь боковой поверхности

 Применим теорему о трех перпендикулярах. В силу того, что и , получим, что проекция на плоскость перпендикулярна , то есть

Заметим, что середина гипотенузы - точка это центр описанной окружности прямоугольного треугольника . Аналогично середина гипотенузы - точка - центр описанной окружности прямоугольного треугольника . Тогда если провести перпендикуляр к плоскости в точке и перпендикуляр к плоскости в точке , то центр описанной окружности пирамиды - точка пересечения этих перпендикуляров. Но перпендикуляр к плоскости в точке совпадает с прямой . То есть точка и есть точка .

При этом на прямой (перпендикуляр к плоскости в точке ) будут лежать все в силу того, что - ГМТ точек равноудаленных от

То есть точка - центр треугольной пирамиды - опять-таки должна лежать на прямой

Хотелось бы добиться того, чтобы ( по очевидным причинам). Но тогда . То есть середина гипотенузы равноудалена от точек . Так же точка равноудалена от точек . Но тогда должен быть ромбом, при этом его диагональ должна быть равна стороне. Понятно, что тогда . Значит, что , то есть