Задача №70327: Теория чисел на ПВГ — Каталог задач по Олимпиадной математике — Школково

Тема . ПВГ (Покори Воробьёвы Горы)

Теория чисел на ПВГ

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела пвг (покори воробьёвы горы)

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#70327

Найдите все натуральные числа $x$ и $y$ , удовлетворяющие уравнению

3 2 x +2y = 2016

Источники: ПВГ-2016, 11.1 (см. pvg.mk.ru)

Показать ответ и решение

Получить хорошее разложение на скобки тут не получится, а перебор всех пар $(x,y)$ большой. Сократим его, воспользовавшись четностью:

. x.. 2⇒ x =2k, k ∈ℕ ⇒ ⇒ 8k3+ 2y2 = 2016⇔ 4k3+y2 =1008; y ... 2⇒ y =2n, n ∈ℕ ⇒ ⇒ 4k3 +4n2 = 1008 ⇔ k3+n2 =252.

Так как $73 = 343 >252,$ разберем 6 возможных значений $k$ и выберем те, при которых $n∈ ℕ.$

⌊ k= 1 и n2 = 251 || k= 2 и n2 = 244 ||| k= 3 и n2 = 225⇒ x= 6, y = 30 || k= 4 и n2 = 188 ||⌈ k= 5 и n2 = 127 k= 6 и n2 = 36⇒ x =12, y = 12

Ответ:

$(6,30),(12,12)$

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

people

Специальные программы

Все специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse

cyberpunkMouse