Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все тройки натуральных чисел 
такие, что
Источники:
Подсказка 1
Когда в задаче на натуральные числа внезапно начинают фигурировать кубы, то пусть у вас всегда возникает мысль, что надо работать по модулю 7 или 9. Это потому, что там очень мало остатков получается. Поработаем, к примеру, с 7. Что мы можем сказать про правую часть при k > 6?
Подсказка 2
Верно, справа по модулю 7 будет 4, так как k! делится на 7, а остаток 32 по модулю 7 это 4. А слева какие вообще выражения могут быть по модулю 7? Какие вообще значения может принимать куб числа по модулю 7?
Подсказка 3
Верно, левая часть по модулю 7 никогда не сравняется с правой, а значит, мы ограничили k сверху шестёркой. Остается перебрать все возможные k и попытаться найти для них подходящие натуральные m и n. Задача решена!
Посмотрим по модулю 
Нетрудно проверить, что кубы натуральных могут давать только остатки 
(можно для удобства заменить
остаток 
на 
очевидно, что разница кратна 
). Поэтому если 
то правая часть даёт остаток 
по модулю 
(такой же, как
). При этом остатки левой части могут быть только 
Все они отличаются от 
по модулю 
поэтому равенство
невозможно. Значит, 
Остаётся перебрать случаи
решений нет.
решений нет.
решений нет.
решений нет.
решения 
решений нет.
Все проверки осуществляются простым перебором (достаточно взять 
поскольку 
для последнего случая, а для других
намного меньше).
Замечание. Аналогичные рассуждения можно было провести для модуля 
тогда не потребовалось бы рассматривать
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное обучение
в Школково
Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
