Подсказка 1

Так как наша окружность построена на BH как на диаметре, то ∠BFH=90°. Тогда в прямоугольном треугольнике BHC проведена высота HF, а в такой картинке возникает много подобных треугольников...

Подсказка 2

Если обозначить AC за 2a, BF за y, FC за x, то AH=HC=a, BH=3a. Из подобия треугольников BFH, FHC и BHC получаем, что 9a²=y(x+y) и a²=x(y+x) => y=9x. Как нам найти отношение площадей FCH и ABC, если у них есть общий угол?

Подсказка 3

Из формулы площади треугольника через стороны и синус угла между ними можно понять, что S(FCH)/S(ABC) = (CF*CH)/(CB*CA) = (y*a)/(2a*(x+y)) = 1/20. А можно ли как-то выразить x через a?

Подсказка 4

Можно! С помощью теоремы Пифагора для треугольника BHC. Получаем, что a=x * √10. Теперь мы можем выразить все отрезки на картинке через a. Чтобы узнать, какая часть площади треугольника находится внутри окружности, необходимо выразить площадь секторов HOF и HOP (где О- центр нашей окружности). А для этого нам необходимо знак угол HOF (HOF=HOP). Как его можно найти?

Подсказка 5

Можно воспользоваться теоремой косинусов для треугольника HOF, благо OF=OH=1,5a. После этого останется найти синус, и задача убита, ведь площади треугольников BOF и BOP это половинки площади треугольника BFH и BPH (FO и PO- медианы).