Тема . Всесиб (Всесибирская открытая олимпиада школьников)
Тождественные преобразования на Всесибе
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела всесиб (всесибирская открытая олимпиада школьников)
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#30980

Найдите величину выражения -1---+ -1---+--2--,
1+x2   1+y2  1 +xy  если известно, что x ⁄= y  и сумма первых двух слагаемых выражения равна третьему.

Источники: Всесиб-2016, 11.1 (см. sesc.nsu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Запишите условие задачи о сумме первых двух дробей и попробуйте привести его к общему знаменателю, перемножить по правилу пропорции и преобразовать! Наша цель - разложить на множители левую и правую часть так, чтобы в множителях было (х-у) (ведь на него мы спокойно можем сокрущать)

Подсказка 2

После перемножения по правила пропорции и сокращения подобных мы получим 2xy +y³x+ x³y =x²+ y² + 2x²y². Тогда перенесем 2xy вправо, а 2x²y² влево и разложим на множители обе части!

Показать ответ и решение

Сначала напишем равенство суммы первых двух слагаемых третьему, и преобразуем его.

--1--  --1--  --2--
1+ x2 + 1+ y2 = 1+ xy.

      2   2
---2+2y-+2-x-2-2 =--2--.
1+ x +y + x y   1+ xy

2 +y2+ x2+2xy+ y3x+ x3y =2+ 2x2+ 2y2+ 2x2y2.

2xy +y3x+ x3y =x2+ y2+ 2x2y2.

xy(x2+ y2− 2xy)= x2+ y2 − 2xy.

xy(x− y)2 =(x− y)2.

Так как по условию x⁄= y  , то на      2
(x− y)  можно сократить. Получаем xy = 1  .

Подставив в самую верхнюю строчку вычислений, получим, что сумма первых двух дробей равна  2
1+1 =1  , и третья дробь тоже равна 1  . Значит, сумма трёх дробей равна 2  .

Ответ:

 2

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!