Подсказка 1

Давайте подумаем, как нам сделать некоторую оценку. Нередко задачу об оценке можно свести к тому, чтобы разбить все числа на группы, так, чтобы для любых двух чисел из одной группы, было выполнено наше условие. Тогда наша оценка будет строиться на том, что чтобы выполнялось условие надо взять такое количество чисел , которое на одно больше количества групп, тогда по принципу Дирихле у нас будет два числа из одной группы. Если воспользоваться этим знанием в нашей задаче, то какое условие должно выполняться в каждой группе?

Подсказка 2

Верно, нужно разбить числа на группы, так чтобы любые два числа в группе давали в сумме простое число. Если мы верим в светлое будущее, то нам нужно составлять группы из 2 чисел, так как их должно быть в группе хотя бы 2, но если в какой то 3, то будет уже групп меньше, чем если во всех 2 числа. Поэтому надо попробовать разбить числа на группы по 2, так чтобы сумма в каждой была равна простому.

Подсказка 3

Существует такое разбиение: (2, 1), (3, 8), (4, 7), (5, 6), (9, 14), (10, 13), (11, 12), (15, 16), (17, 20), (18, 19). Оценку сверху мы получили. Если взять любые 11 чисел, то этого хватит. А почему нельзя взять только 10? Может быть, есть пример?

Подсказка 4

Верно, можно взять только четные числа. Сумма любых двух будет кратна 2 и больше 2, значит, будет непростое. Оценка снизу тоже есть. Значит, мы нашли ответ!