Докажем неравенство при условии Для этого достаточно возвести его в квадрат и использовать откуда сразу же получаем требуемое

Поскольку знаки везде строгие, то мы получаем простое следствие — число получиться не может, потому что каждое полученное простое будет меньше Поэтому наибольшее число, которое мы теоретически можем получить, это (наибольшее простое меньше, чем ).

Теперь покажем, как строится пример: будем последовательно выбирать два наибольших простых числа из всех, игнорируя Так всегда будет оставаться меньшее из этих чисел, поскольку большее остаться не может, при этом на каждом шаге мы рассматриваем два последовательных простых (это доказывается по индукции, поскольку на первом шаге мы оставим из пары и и так далее). То есть на каждом шаге при этом — последовательные простые, поэтому между ними других простых нет и мы будем выбирать

Наконец, останутся числа для них покажем, что подходит

Что и требовалось (в конце использована разность квадратов).

Замечание. Доказательство двойного неравенства также можно произвести через теорему косинусов для угла (в центре стоит длина третий стороны). При этом важно, что напротив угла в всегда лежит средняя сторона треугольника. Также сразу можно определить критерий равенства.