Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Натуральное число назовём интересным, если существует натуральное число такое, что:
- ;
- разность чисел и — простое число;
- произведение чисел и — точный квадрат.
Найдите все интересные числа, большие 200 и меньшие 400.
Подсказка 1
Заметим сразу, что если A-B = p - простому числу, то НОД(A, B) либо 1, либо p. Попробуйте понять, что случай с НОДом равным p - невозможен из-за второго условия)
Подсказка 2
Окей, теперь у нас НОД = 1. Но тогда раз произведение этих чисел - точный квадрат, то что можно сказать про сами числа?
Подсказка 3
Что они сами являются квадратами! А теперь давайте вернемся к тому, что разность этих чисел - простое число. Эти же числа являются квадратами. А разность квадратов хорошо раскладывается на произведение) Что можно отсюда выяснить?
Подсказка 4
Если разложить разность квадратов как (a-b)(a+b), то станет понятно, что она может быть равна простому числу только если a-b = 1. Получается, A и B - просто последовательные квадраты) Остался небольшой перебор и все значения найдены!
Пусть — простое число. По условию для некоторого натурального Заметим, что НОД чисел и делит их разность, равную поэтому он равен либо либо 1. Разберём два случая.
- Предположим, Тогда и для некоторого натурального Тогда т.е. Отсюда следует, что делится на поэтому — точный квадрат. Но т. е. число находится между двумя последовательными точными квадратами, поэтому само не может быть точным квадратом. Противоречие.
-
Предположим, Произведение взаимно простых чисел и является точным квадратом тогда и только тогда, когда сами числа и являются точными квадратами. Тогда и для некоторых натуральных откуда следует, что Из того, что произведение натуральных чисел и равно простому числу следует, что и Тогда и поэтому и Поскольку число является простым, получаем несколько случаев:
- Если то — не подходит под условие задачи.
- Если то и — подходит под условие задачи.
- Если то и — подходит под условие задачи.
- Если то и — подходит под условие задачи.
- Если то — не подходит под условие задачи.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное обучение
в Школково
Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!