Если число одного из мудрецов равно то он знает, что число другого мудреца равно либо либо ему остаётся определить только то, какая из этих двух возможностей имеет место. Когда мудрец отвечает на вопрос "Знаешь ли ты моё число?"в первый раз, он может ответить положительно только если его число равно (в этом случае число второго однозначно равно ). Если ответ был отрицательный, то второй мудрец узнает, что число не равно (хотя он это и так знает, если его число больше ). Далее, если при втором задании вопроса отвечает отрицательно, то узнает, что число не равно и (если число равно он наверняка знал бы, что число равно поскольку после первого вопроса он знает, что оно не равно ).

Пусть перед очередным вопросом одного из мудрецов (для определенности, ) обоим мудрецам известно, что число не равно а число не равно Если ответил отрицательно, то его число не равно (иначе он бы знал, что число равно также его число не равно (иначе он бы знал, что число равно поскольку оно не может быть равно ). Итак, в случае отрицательного ответа мы приходим к ситуации, аналогичной только что рассмотренной: перед вопросом B обоим мудрецам известно, что число не равно а число не равно

Далее при повторении отрицательных ответов каждый из гениев будет постепенно определять, что число другого гения не равно ни одному числу из начального отрезка натурального ряда. Так как числа гениев конечны, то процесс отрицательных ответов рано или поздно прекратится; это означает, что один из гениев ответит на вопрос положительно.