Поступим следующим образом: рассмотрим кружки, в которых еще нет пионеров. Возьмем какой-то из этих кружков и посвятим в пионеры одного участника этого кружка. Для этого пионера кружок — теперь кружок, где единственный пионер.

После того, как посвятили в пионерию, в некоторых кружках, где есть пионеры, могло увеличиться их число. И некоторые ученики-пионеры теперь возможно не имеют кружка, где они единственные обладатели красного галстука. Тогда просто исключим их из пионерского движения. При этом во всех кружках, которые посещал каждый такой ученик останется хотя бы один пионер, иначе в таком кружке был единственным пионером.

После одного шага этого процесса (включения + исключения пионеров) число кружков, где есть пионеры увеличилось хотя бы на потому что в кружке теперь есть пионер, а в кружках, где были пионеры, все еще есть пионеры. При этом из-за того, как мы исключили некоторых учеников, у каждого пионера есть кружок, где он единственный.

Кружков конечное число, поэтому этот процесс рано или поздно закончится.