Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дана трапеция с основаниями и боковыми сторонами . Точка на прямой такова, что периметр треугольника наименьший из возможных. Найдите этот периметр.
Источники:
Подсказка 1
Заметим, что основание у нашего треугольника зафиксировано. То есть на самом деле нам нужно найти минимальную сумму расстояний до точки P от A и B. Давайте попробуем понять, почему расстояние будет минимальным, когда лучи PA и PB будут падать под одним углом на BC. Обычно когда речь идёт о минимуме или максимуме, то нужно неравенство, а в геометрии чаще всего — это неравенство треугольника. Как можно попробовать сделать из отрезков PA и PB треугольник, в котором мы явно будем видеть их сумму?
Подсказка 2
Верно, хоть до этого и не просто догадаться, давайте попробуем отразить точку D симметрично относительно BC. Что тогда у нас получается? Пусть симметричная точка X. Получается треугольник APX, где сумма наших расстояний это AP+PX. Но тогда записав неравенство треугольника, когда достигается минимум?
Подсказка 3
Да, получается, чтобы сумма расстояний выстроилась в одну прямую, а это и будет минимум по неравенству треугольника, нужно как раз равенство углов. Победа! Теперь осталась только техническая часть поиска двух сторон равнобедренного треугольника APD. Это можно сделать, например, через теорему Пифагора для половины основания, высоты и стороны треугольника. Нужно только найти высоту трапеции, что при наличии стольких данных несложно.
Первое решение.
Воспользуемся следующим утверждением, которое наиболее известно как «принцип наименьшего времени Ферма» в физике:
Для данных точек и данной прямой из всех точек сумма будет минимальной, когда углы между прямыми и и и будут равны.
Тогда для искомой точки на прямой должно выполняться равенство (точки и - где-то «далеко» на прямой . Поскольку , то
т.е. треугольник - равнобедренный. Значит, нам достаточно найти периметр равнобедренного треугольника , где - точка на прямой .
По теореме Пифагора этот периметр равен
где - расстояние между прямыми и , т.е. высота трапеции.
Найти высоту трапеции можно разными способами. Например, проведём через точку , прямую, параллельную , до пересечения с основанием в точке . Тогда искомая высота - это высота из вершины в треугольнике . Поскольку параллелограмм, то , .
Итого, нам достаточно найти длину высоты на сторону длины 7 в треугольнике со сторонами 5 , . По формуле площади и формуле Герона имеем
откуда
и окончательный ответ .
Второе решение.
Также, как и в первом решении, найдём высоту трапеции. Покажем здесь, как можно это было сделать по-другому. Опустим высоты и трапеции. Обозначим их длины через , длину отрезка обозначим через . Поскольку , для получим . Из прямоугольных треугольников и по теореме Пифагора получим и
Подставив в эти равенства известные длины, получим систему уравнений
Вычитая из первого равенства второе, получим , откуда . Тогда .
Рассмотрим треугольник . Обозначим , тогда (здесь и далее все расстояния со знаком, т.е. могут быть отрицательные). Опустим высоту . Тогда треугольник прямоугольный и по теореме Пифагора
Аналогично, из прямоугольного треугольника
Тогда периметр треугольника равен
Найдём производную этой функции:
Из уравнения получаем
откуда . Несложно видеть, что именно точка минимума, откуда минимальный периметр равен .
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное обучение
в Школково
Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!