Тема . ОММО (Объединённая Межвузовская Математическая Олимпиада)
Планиметрия на ОММО
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела оммо (объединённая межвузовская математическая олимпиада)
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#47911

В треугольнике ABC  с отношением сторон AB :AC =5 :4  биссектриса угла BAC  пересекает сторону BC  в точке L.  Найдите длину отрезка AL,  если длина вектора   −→    −→
4⋅AB +5⋅AC  равна 2016.

Источники: ОММО-2016, номер 4, (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте пробовать постепенно раскручивать задачу, пользуясь всеми условиями. Нам дана биссектриса треугольника. Какие тогда соотношения можно записать?

Подсказка 2

Верно, можно записать равенство отношений отрезков и сторон, тем более одно из них нам дано. Так же нам дали какую-то странную сумму векторов... Давайте тогда попробуем выразить AL через вектора, может эта сумма там и появится. Как это можно сделать?

Подсказка 3

Ага, можно для начала выразить AL через сумму двух векторов по правилу треугольника. Видим, что фигурируют неизвестные нам вектора, и в данной по условию сумме они не участвуют. Тогда попробуем заменить один из векторов по полученному равенству в 1 подсказке, а далее ещё раз воспользоваться правилом треугольника.

Показать ответ и решение

Поскольку BL-= AB-= 5,
LC   AC  4  то −→BL= 5−B−→C,
    9  тогда

−→   −→  −→   −→   5 −−→   −→   5 (−→  −→ )
AL = AB +BL = AB + 9 ⋅BC = AB+ 9 AC −AB  =

    −→     −→     ( −→    −−→)
= 4 ⋅AB + 5 ⋅AC = 1  4AB+ 5BC
  9      9      9

Отсюда |−A→L |= 19 ⋅2016= 224.

Ответ:

 224

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!