Тема . ОММО (Объединённая Межвузовская Математическая Олимпиада)
Планиметрия на ОММО
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела оммо (объединённая межвузовская математическая олимпиада)
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#47135

Дан выпуклый пятиугольник ABCDE  . Точки M, N,P  и Q− середины сторон AB,BC,CD  и DE  соответственно, точки H  и K  — середины MP  и NQ  соответственно. Найдите длину отрезка HK  , если AE = 7  .

Источники: ОММО-2014, номер 4, (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

Попробуем отрезок MQ выразить двумя разными способами, чтобы приравнять и вычислить HK. Для этого в вычислениях должен встречаться HK. Попробуйте записать MQ двумя различными способами

Подсказка 2!

Например, как две покрывающие его ломаные, например, MH + HK + KQ. И вторая ломаная, MB + BC + CD + DQ

Подсказка 3!

То есть теперь попробуем выразить все отрезки через AB, BC, CD, DE и отношения с ними, а Hk оставить нетронутым, чтобы выразить!

Показать ответ и решение

PIC

Опустим везде обозначения векторов, поскольку больше ничего использовать не будем. Выразим MQ  двумя способами

MQ = MH + HK + KQ = MB + BC +CD + DQ = AB-+ BC+ CD + DE- (1)
                                        2             2

Распишем более подробно первое равенство

      MP-  -A2B+-BC-+-CD2-       NQ-  -B2C+-CD-+-DE2-
MH  =  2  =      2      ; KQ =  2 =       2

                    AB   3BC   3CD   DE
MQ  = NH +HK  +KQ  =-4- +--4-+ --4-+ -4-+ HK  (2)

Приравнивая (1)  и (2)  , имеем

     AB + BC +CD + DE   AE              |AE |  7
HK = --------4--------= -4-  =⇒   |HK |= -4--= 4
Ответ:

 7
4

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!