Тема 18. Задачи с параметром
18.24 Графика. Области
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела задачи с параметром
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#32719

Найдите все значения параметра a  , при каждом из которых система

({
  |3x− y+ 2|≤ 12
( (x − 3a)2+(y+ a)2 =3a+ 4

имеет единственное решение.

Показать ответ и решение

Неравенство равносильно

−12≤ 3x− y +2 ≤12 ⇔   3x − 10≤ y ≤ 3x+ 14

Следовательно, оно задает полосу между прямыми y =3x− 10  и y = 3x+14  .

Уравнение при 3a+ 4< 0  задает пустое множество, следовательно, система не имеет решений, что нам не подходит. При 3a+ 4= 0  оно задает точку (− 4;4)
   3 , которая лежит в полосе (так как удовлетворяет неравенству), следовательно, a= − 4
    3  нам подходит. При 3a+ 4> 0  уравнение задает окружность с центром в O(3a;−a)  , который движется по прямой y = − 1x
    3  , и радиусом R = √3a+-4  , который при движении ентра по прямой y = − 1x
     3  сверху вниз увеличивается.

Единственное решение у системы тогда, когда окружность касается границы полосы внешним образом (в точке K  ):

PIC

Заметим, что точка касания лежит на прямой     1
y = −3x  , так как произведение коэффициентов прямых     1
y = −3x  и y =3x − 10  равно − 1  , следовательно, прямые перпендикулярны.

Следовательно, координаты точки K  можно найти как координаты точки пересечения      1
y =− 3x  и y = 3x − 10  :

(                (
|{y = − 13x         {x =3
|(y = 3x− 10  ⇔   (y =− 1

Таким образом, OK = R  :

∘ (3-− 3a)2+(−1−-a)2-=√3a-+4 ⇔   a= 2

Значит, ответ a =− 4;2.
     3

Ответ:

 a ∈{− 4;2}
      3

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!