Тема 12. Исследование функций с помощью производной
12.11 Поиск наибольшего/наименьшего значения у функций с тригонометрией
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела исследование функций с помощью производной
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#32221

Найдите наибольшее значение функции y = −2tgx+ 4x− π − 3  на отрезке [  π-π]
 − 3;3  .

Показать ответ и решение

Функция y = y(x)  определена при всех     π
x ⁄= 2 + πk,k ∈ℤ  . Определим участки, на которых функция возрастает или убывает. Для этого найдем ее производную:

        2         2cos2x− 1     cos2x
y′ = − cos2x-+ 4= 2⋅-cos2x-- =2 ⋅cos2x-

Найдем нули производной:

y′ =0  ⇒   cos2x =0   ⇔   x= π-+ πn,n ∈ℤ
                            4   2

Найдем точки, где производная не существует:

                 π-
cosx⁄= 0  ⇔   x ⁄= 2 + πk,k ∈ ℤ

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков. Тогда из точек, где производная равна нулю или не существует, на отрезок [− π3; π3] попадают нули производной x = − π; π
     4 4  .

PICT

Тогда функция y = y(x)  убывает на [− π3;− π4) , затем возрастает на (− π4; π4) , затем снова убывает на (π4; π3] , следовательно, наибольшее значение принимает в одной из точек      π
x= − 3  или     π
x = 4  . Найдем значение функции в этих точках и сравним:

 ( π )   √ -  4π         √ -     7π
y −-3 = 2  3− 3-− π − 3 = 2 3− 3−-3
 ( )
y π- = −2+ π − π − 3= −5
  4

Очевидно, что y =− 5  больше.

Ответ: -5

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!