Тема 18. Задачи с параметром
18.18 Функции. Сумма взаимно обратных
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела задачи с параметром
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#31913

Найдите все значения параметра a,  при каждом из которых уравнение

 x   x+2         −x     1−x
4 + 2   + 7= a− 4  − 2⋅2

имеет решения.

Показать ответ и решение

Уравнение равносильно

 x   −x   ( x   −x)
4 + 4  + 4 2 + 2   + 7= a

Пусть  x
2  =y.  Тогда каждому значению y ∈(0;+∞ )  соответствует ровно одно значение x ∈(−∞; +∞ ).

Если y + 1y = t,  то t∈ [2;+ ∞)  как сумма двух взаимно обратных положительных чисел. Таким образом, каждому t≥2  соответствует ровно как минимум одно значение y ∈ (0;+ ∞),  каждому из которых соответствует ровно одно x ∈(−∞; +∞ ).

Тогда получаем t2 = y2+-1+ 2 =4x +4−x +2
        y2  и уравнение примет вид

 2                        2
t − 2+ 4t+7 = a  ⇔   (t +2) = a− 1

Если полученное уравнение имеет хотя бы одно решение t≥ 2,  то исходное уравнение имеет хотя бы одно решение x.

При a≥ 1  имеем         √----
t= − 2±  a− 1,  причем        √ ----
t= −2−   a− 1≤ −2.  Следовательно, нужно:

    √ ----         √ ----
−2 +  a− 1≥ 2  ⇔     a− 1≥ 4  ⇔   a ≥17

Это удовлетворяет условию a ≥1.

Ответ:

a ∈[17;+ ∞ )

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Обоснованно получен верный ответ

4

Решение верно, получен верный ответ, но переходы по ходу исследования недостаточно обоснованы

3

Верно решено уравнение относительно новой переменной, но допущена ошибка в ходе его решения

2

ИЛИ

неверно составлено неравенство для выполнения условия задачи

Введена и исследована новая переменная

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

4

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!