Задача №85999: Неравенство КБШ для наборов, КБШ для дробей (неравенство Седракяна) — Каталог задач по Олимпиадной математике — Школково

Тема . Классические неравенства

Неравенство КБШ для наборов, КБШ для дробей (неравенство Седракяна)

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела классические неравенства

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#85999

Даны ненулевые числа $x,y,z,w$ такие, что $x+ y ⁄= 0,z+ w ⁄=0$ и $xy+ zw≥ 0.$ Докажите неравенство

( x+ y z+ w)− 1 1 (x z)−1 ( y w )−1 z+w-+ x+-y + 2 ≥ z + x + w + y

Показать доказательство

Приведем все дроби к общему знаменателю:

( (x +y)2+ (z+ w)2)−1 1 ( x2+z2)−1 ( y2+w2 )−1 --(x+-y)(z+-w)-- + 2 ≥ -xz--- + -yw---

Преобразуем полученное неравенство

1− --xz--+ 1− --yw--≥ 1 −--(x+-y)(z+-w)- 2 x2+ z2 2 y2+ w2 2 (x+ y)2 +(z+ w)2

и снова приведем пары слагаемых к общему знаменателю:

(x−-z)2-- -(y−-w)2- --(x-+y−-z−-w)2-- 2(x2+ z2) + 2(y2+w2) ≥ 2((x+ y)2+ (z +w)2)

Далее имеем

2 2 2 2 2(x(x−2+z)z2)-+ (2(yy−2+w)w2) ≥ 2((xx2−+-zy+2+y−z2-w+)w2) ≥ 2(((xx++yy)−2+z−(z+w)w)2)

где первое неравенство следует из дробного КБШ, а второе — из неравенства

(x +y)2+(z+ w)2 = x2+y2+ z2+ w2+ 2(xy+ zw)≥x2+ y2+ z2+w2

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

people

Специальные программы

Все специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse

cyberpunkMouse