Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Точка , лежащая вне окружности с диаметром , соединена с точками и . Отрезки и пересекают окружность в точках и соответственно. Площадь круга, вписанного в треугольник , в четыре раза больше, чем площадь круга, вписанного в треугольник . Найдите углы треугольника , если известно, что один из них в два раза больше другого.
Четырёхугольник — вписанный по построению. Также в нём углы и опираются на диаметр описанной окружности, поэтому они равны
Тогда , поэтому треугольник подобен треугольнику по двум углам (угол — общий).
Площадь круга, вписанного в треугольник , в четыре раза меньше площади круга, вписанного в треугольник , поэтому радиус первого круга вдвое меньше радиуса второго. Тогда коэффициент подобия треугольников и равен . Значит,
Точка расположена вне данной окружности, поэтому то есть он острый. Тогда
Нам известно, что какой-то угол треугольника в два раза больше другого. Переберем все возможные случаи
- Угол при вершине треугольника не может быть вдвое меньше угла или , так как в противном случае один из углов или равен , что невозможно из-за того, что углы и — острые углы прямоугольных треугольников и соответственно.
- Если же угол вдвое больше угла , то угол равен , что невозможно (в этом случае прямая будет касаться данной окружности). Аналогично, угол не может быть вдвое меньше угла .
- Тогда осталось два варианта: либо угол вдвое больше угла , либо наоборот. В каждом из этих случаев один из углов равен , а второй .
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное обучение
в Школково
Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!