В первую очередь необходимо обратить внимание на основы, союзы и однородные.

1) В середине XV века султан захватил Константинополь, и почти сразу он перенёс туда столицу Османской империи.

Сложное предложение с сочинительной связью. Основы: султан захватил; он перенёс. Обстоятельство времени «В середине XV века» не является общим для обеих частей, т.к. во второй части есть другое обстоятельство времени – «почти сразу». Перед союзом И запятую СТАВИМ.

2) В середине XV века султан захватил Константинополь, и во многих учебниках написано об этом.

Сложное предложение с сочинительной связью. Основы: султан захватил; написано. Обстоятельство времени «В середине XV века» не является общим для обеих частей, т.к. ПО СМЫСЛУ очевидно не подходит ко второй части (в учебниках написали не в середине XV века).

3) Ольга Ильинская любила Обломова и Штольца и искала счастья с одним из них.

Первая пара однородных: любила и искала счастья; вторая пара однородных: Обломова и Штольца. Запятые не нужны, т.к. однородные соединены при помощи союза И.

4) Нобелевскую премию по литературе получили как Бродский, так и Солженицын, как Шолохов, так и Бунин.

Однородные: Бродский, Солженицын, Шолохов, Бунин. Бродский, Солженицын. Два однородных соединяются при помощи двойного союза КАК … , ТАК И… . Этот союз требует запятой ВСЕГДА. Шолохов, Бунин. Два однородных соединяются при помощи двойного союза КАК … , ТАК И. Этот союз требует запятой ВСЕГДА. Солженицын, Шолохов. Эти однородные стоят рядом и ничем не соединяются. Разделяем запятой.

5) В 1204 году крестоносцы захватили Константинополь и в Киеве начал княжить Ростислав Рюрикович.

Сложное предложение с сочинительной связью. Основы: крестоносцы захватили; начал княжить Ростислав Рюрикович. Есть общее второстепенное обстоятельство (В 1204 году). Оно зависит от обеих частей сложного предложения. Перед союзом И запятую НЕ СТАВИМ.