В первую очередь необходимо обратить внимание на основы, союзы и однородные.

1) Ни платья, ни юбки она не брала с собой на море.

Запятая нужна, т.к. однородные соединены при помощи повторяющихся союзов «НИ…, НИ…» Если союзы повторяются при однородных, то запятые начинаем ставить после первого однородного и т.д. после каждого, кроме последнего.

2) После собрания директор школы и завуч шли по коридору и громко обсуждали учеников и их родителей.

Первая пара однородных: «директор и завуч»; вторая пара однородных: «шли и обсуждали»; третья пара однородных: «учеников и родителей». Запятые не нужны, т.к. однородные соединены при помощи союза «И».

3) Пётр не получил жалование и весь день ходил очень расстроенный.

Простое предложение. Пара однородных: «не получил и ходил расстроенный». Запятая не нужна, т.к. однородные соединены при помощи союза «И».

4) Гену задели слова Кати, и он повернулся и пошёл к себе в комнату.

Две основы: «слова задели»; «он повернулся и пошёл». Союз «И» соединяет две части сложного предложения. Общего второстепенного члена предложения нет. Запятая нужна. Однородные: «повернулся» и «пошёл». Запятая не нужна, т.к. однородные соединены при помощи союза «И».

5) Не только непрекращающиеся дожди навевали Аркадию скуку, но и книги, спектакли.

Однородные: «дожди», «книги», «спектакли». Запятая нужна, т.к. однородные соединены при помощи двойного союза «НЕ ТОЛЬКО…, НО И…» Этот союз требует запятой. Запятая во втором случае нужна, т.к. союза нет.