В первую очередь необходимо обратить внимание на основы, союзы и однородные.

1) Нужно было читать и понимать написанное в методических пособиях и учебниках.

Первая пара однородных: «читать и понимать»; вторая пара однородных: «в пособиях и учебниках». Запятые не нужны, т.к. однородные соединены при помощи союза  «И».

2) С телеканала уволили и корреспондента, и оператора.

Запятая нужна, т.к. однородные соединены при помощи повторяющихся союзов «И…, И…» Если союзы повторяются при однородных, то запятые начинаем ставить после первого однородного и т.д. после каждого, кроме последнего.

3) Студент долго готовился к экзамену, да не сдал его.

Одна основа: студент готовился, не сдал. Союз «ДА»=«НО»; он соединяет два однородных сказуемых. Запятая нужна.

4) В понедельник серые тучи затянули всё небо и холодный дождь залил улицы города.

Сложное предложение с сочинительной связью. Основы: «тучи затянули»; «дождь залил». Есть общее второстепенное обстоятельство («в понедельник»). Оно зависит от обеих частей сложного предложения. Именно поэтому перед союзом  «И» запятую НЕ СТАВИМ.

5) В лаборатории проводили опыты не столько на лягушках, сколько на мухах, крысах.

Однородные: «на лягушках», «мухах», «крысах». Запятая нужна, т.к. однородные соединены при помощи двойного союза «НЕ СТОЛЬКО…, СКОЛЬКО…» Этот союз требует запятой. Запятая во втором случае нужна, т.к. союза нет.