В первую очередь необходимо обратить внимание на основы, союзы и однородные.

1) Наступила осень, и рыжие белки стали серыми, а серые зайцы стали белыми.

Сложное предложение с сочинительной связью. Три основы: «наступила осень»; «белки стали серыми»; «зайцы стали белыми». Нет общих второстепенных. Мы должны разделить все три основы. Перед союзом  «И» ставим запятую, перед союзом «А» ставим запятую.

2) Осенью птицы улетят и цветы завянут.

Сложное предложение с сочинительной связью. Основы: «птицы улетят»; «цветы завянут». Есть общее второстепенное обстоятельство («осенью»). Оно зависит от обеих частей сложного предложения. Перед союзом  «И» запятую НЕ СТАВИМ.

3) Рассветает, и меркнут звёзды на небосклоне.

Две основы: «рассветает»; «меркнут звёзды». Союз «И» соединяет две части сложного предложения. Запятая нужна.

4) В сентябре Игорь Губерман выпустил новый сборник стихов, и в том же месяце вышло несколько критических статей о его лирике.

Сложное предложение с сочинительной связью. Основы: «Игорь Губерман выпустил»; «вышло несколько статей». Обстоятельство времени «в сентябре» не является общим для обеих частей, т.к. во второй части есть другое обстоятельство времени – «в том же месяце». Перед союзом «И» запятую СТАВИМ.

5) Илья Ильич Обломов не вставал с дивана несколько дней подряд и почувствовал себя хуже.

Простое предложение. Одна основа: «Илья Ильич Обломов не вставал и почувствовал себя хуже». Однородные: «не вставал» и «почувствовал себя хуже». Запятая не нужна, т.к. однородные соединены при помощи союза  «И».