В первую очередь необходимо обратить внимание на основы, союзы и однородные.

1) Темнело, и горожане торопились скорее оказаться в своих уютных гостиных.

Две основы: «темнело»; «горожане торопились оказаться». Союз «И» соединяет две части сложного предложения. Запятая нужна.

2) Каждое утро пожилой джентльмен покупал газету и читал её на террасе, а его жена прогуливалась вдоль пляжа в одиночестве.

Сложное предложение с сочинительной связью. Основы: «джентльмен покупал и читал»; «жена прогуливалась». Есть общее второстепенное обстоятельство («каждое утро»). Оно зависит от обеих частей сложного предложения. Однако перед союзом «А» запятую всё равно СТАВИМ, т.к. перед этим союзом всегда ставится запятая. Пара однородных: «покупал» и «читал». Запятая не нужна, т.к. однородные соединены при помощи союза «И».

3) Каждое утро пожилой джентльмен покупал газету, внимательно читал её на террасе, а его жена прогуливалась вдоль пляжа и бросала мелкую гальку в море.

Сложное предложение с сочинительной связью. Основы: «джентльмен покупал, читал»; «жена прогуливалась и бросала». Есть общее второстепенное обстоятельство («каждое утро»). Оно зависит от обеих частей сложного предложения. Однако перед союзом «А» запятую всё равно СТАВИМ, т.к. перед этим союзом всегда ставится запятая. Первая пара однородных: «покупал», «читал». Запятая нужна, т.к. союза нет. Вторая пара однородных: «прогуливалась» и «бросала». Запятая не нужна, т.к. однородные соединены при помощи союза «И».

4) Каждое утро пожилой джентльмен покупал газету и его жена делала то же самое.

Сложное предложение с сочинительной связью. Основы: «джентльмен покупал»; «жена делала». Есть общее второстепенное обстоятельство («каждое утро»). Оно зависит от обеих частей сложного предложения. Перед союзом «И» запятую НЕ СТАВИМ.

5) Один трудолюбивый журналист ежедневно писал две статьи и редактировал несколько заметок.

Простое предложение. Однородные: «писал» и «редактировал». Запятая не нужна, т.к. однородные соединены при помощи союза  «И».