Так как любые точек лежат на двух окружностях, то найдется окружность на которой лежит не менее точек. Рассмотрим все точки множества, не лежащие на Если таких точек четыре или меньше, то утверждение задачи верно. Действительно, дополнив их точками окружности до девяти, получим, что они лежат на двух окружностях, на одной из которых лежат три дополняющих точки, поэтому это Значит, все наши точки лежат на другой окружности. Пусть вне окружности лежит не менее пяти точек. Возьмем пять точек на и три точки вне Через точки проходит единственная окружность Возьмем точку отличную от точек По условию существуют две окружности и содержащие все точки Тогда опять одна из окружностей и совпадает с Поскольку точки не лежат на окружности все они оказываются на той из окружностей или которая не совпадает с и эта вторая окружность тем самым совпадает с Получается, что точка лежит либо на либо на что завершает доказательство.