Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Длины всех ребер (боковых и основания) тетраэдра равны 1 . На ребре расположена точка так, что . Найти расстояние между скрещивающимися прямыми и .
Подсказка 1
Мы видим, что нам надо найти расстояние между двумя скрещивающимися прямыми, при этом конструкция фигуры понятна и все отрезки известны. Что в таком случае мы привыкли делать?
Подсказка 2
Вводить систему координат с началом в точке A, ось х - вдоль AB, ось у - перпендикулярно оси х и в плоскости треугольника АВС. А ось z - просто перпендикулярно плоскости основания. Чтобы найти расстояние между скрещивающимися прямыми, можно найти расстояние между прямой и плоскостью, которая проходит через одну и параллельна другой прямой. Что нам нужно чтобы найти такую плоскость?
Подсказка 3
Верно, чтобы найти такую плоскость, нам нужны оба вектора AD и MC (ведь их векторное произведение - направляющий вектор нормали к плоскости, а вектор нормали к плоскости и коэффициенты канонического уравнения плоскости очень хорошо связаны). Как найти эти векторы? Через что их можно выразить?
Подсказка 4
Заметим, что вектор СМ понятным образом выражается через вектора BC и AB (ведь мы знаем в каком отношении точка M делит AB). А вектор AD понятно выражается через высоту тетраэдра из точки D на ABC, и отрезок AO (O - центр вписанной и описанной окружности треугольника ABC). А вектор AO выражается через CE и AB, где Е - середина AB. Значит, все понятно выражается и остается только это сделать и найти по формуле расстояние от точки прямой до плоскости и записать ответ!
Введем декартову систему координат с началом координат в точке , ось направим вдоль , ось – на плоскости основания перпендикулярно оси абсцисс, а ось перпендикулярно плоскости основания тетраэдра.
Из условия . Пусть – середина . Так как все ребра тетраэдра равны , то радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника в основании: .
Радиус окружности, вписанной в основание: .
Из прямоугольного треугольника находим высоту пирамиды:
Высота равностороннего треугольника со стороной : .
Теперь можно выписать координаты всех нужных точек: , , , .
Таким образом
Напишем уравнение плоскости, проходящей через ребро параллельно . Найдем вектор, перпендикулярный этой плоскости
Уравнение искомой плоскости:
Искомая в задаче величина равна расстоянию от точки до этой плоскости:
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное обучение
в Школково
Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!