Пусть центр сферы и пусть основания высот треугольника , опущенных из вершин соответственно. Рассмотрим четырёхугольники , . Каждый из них состоит из двух равных прямоугольных треугольников. При этом катеты равны.

Из равенства расстояний от до плоскости следует, что равны углы , а стало быть, равны и углы , . Значит, равны отрезки , то есть является точкой пересечения биссектрис треугольника . При этом это ортоцентр . Стало быть, треугольник правильный. Поскольку углы равны, высота пирамиды. Опустим из перпендикуляр на . Тогда радиус окружности, описанной около треугольника равен . Радиус же окружности, описанной около треугольника равен . Получаем, что . Отсюда видим, что . Стало быть, . Получаем, что искомое отношение равно