Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Основанием четырехугольной пирамиды является параллелограмм со сторонами и углом , равным . Высотой пирамиды является отрезок , где - точка пересечения диагоналей параллелограмма . Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, параллельной медиане боковой грани и проходящей через середину ребра и середину отрезка .
Пусть — середина ребра а точка - середина отрезка . Рассмотрим плоскость . Так как плоскость сечения параллельна медиане и проходит через точку , построим прямую в плоскости . Тогда - средняя линия в , а середина .
Теперь нам известны три точки сечения: . Рассмотрим основание пирамиды и посмотрим, как прямая пересекает стороны основания. Пусть эта прямая пересекает прямые в точках .
Из теоремы Менелая для треугольника получаем, что
Так как , то .
Далее замечаем, что . Тогда
Откуда .
Из подобия получаем
То есть .
Аналогично из подобия получаем
То есть .
Проведем , где - точка на . Тогда
И . Тогда из теоремы косинусов для треугольника получим .
Пусть - точка, в которой прямая пересекает ребро . Тогда из теоремы Менелая для и прямой получим:
Далее из теоремы Менелая для имеем:
В силу параллельности прямых и имеем , откуда . По теореме косинусов для имеем , то есть . Из теоремы Пифагора для треугольника получаем , откуда . По теореме косинусов для имеем , а значит . По теореме Пифагора для вычислим . Заметим, что для треугольника выполняется теорема Пифагора, то есть угол прямой. С помощью теоремы косинусов для треугольника вычислим . Теперь через теоремы косинусов для треугольников и вычислим длины отрезков . Далее по теореме Герона получаем .
Заметим, что . Значит, .
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное обучение
в Школково
Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!