Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела игры
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#76060

Кащей и Василиса играют в игру. Изначально пять одинаковых пустых вёдер ёмкостью a  стоят по кругу. За ход Кащей берёт изо рва литр воды и распределяет его по вёдрам как ему заблагорассудится, а затем Василиса опустошает любые два соседних ведра. Кащей выигрывает, если после какого-то его хода хотя бы одно из вёдер переполнится. При каких a  Василиса может не допустить этого?

Показать ответ и решение

Сначала покажем, что при емкости вёдер a< 2  Кащей сможет добиться того, что ведро будет переполнено. Если a< 1,  то Кощею достаточно 1  литр поместить в одно какое-то ведро.

Иначе пусть a =2− 𝜀,  где 0< 𝜀≤1  и пусть ведра пронумерованы по кругу: 1,2,...5  соответственно. Тогда пусть Кощей наливает в первое ведро    𝜀
1− 2,  а в третье 𝜀
2  литров воды.

Василиса может опустошить только одно из ведер: либо первое, либо третье, потому что они не стоят рядом. Дальше будет действовать следующим образом: если Василиса не опустошает первое ведро, то пусть Кащей просто дольет в первое ведро 1  литр и в нем станет    𝜀
2− 2 >a,  поэтому это ведро переполнится. Иначе Василиса опустошила первое ведро, но тогда третье ведро осталось заполненным. Пусть Кощей также наливает в первое ведро    𝜀
1 −2  , а в третье 𝜀
2  литров воды до того момента, когда либо Василиса не опустошает первое ведро (тогда Кощей доливает в первое ведро 1  литр и побеждает), либо в третьем ведре станет n𝜀
-2 >a,  где n  — число раз, когда Василиса не опустошала третье ведро.

В случае же a≥ 2  Василиса сможет не допустить победы Кащея. Пусть она будет действовать следующим образом: сначала опустошает 1,2  ведро, потом 3,4  ведро, потом 5,1,  потом 2,3,  потом 4,5  и так далее по кругу. Тогда каждое ведро не опустошается не более, чем 2  хода Кащея, то есть в каждом ведре может быть налито Кащеем за 2  хода максимум 2  литра, после чего оно опустошается. Значит, что ни одно из ведер не переполнится. И Василиса побеждает.

Ответ:

При a≥ 2

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!