Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В треугольнике 
проведены высоты 
и 
, а 
. Докажите, что 
— диаметр окружности девяти точек
треугольника 
Подсказка 1
Угол в 45 градусов…Где же он встречается…Ого, а что насчет треугольников BA1A и BC1C? Что про них можно сказать? А что это дает?
Подсказка 2
Верно, они прямоугольные и равнобедренные, но тогда высоты в этих треугольниках - это серединные перпендикуляры. А значит пресечения высот в этих треугольниках - центр описанной окружности треугольника ABC. Нам нужно доказать, что в четырехугольнике C1OA1H точкой пересечения диагоналей, диагональ OH делится пополам. А где еще мы что-то очень похожее слышали? Что можно сказать про этот четырехугольник?
Подсказка 3
Поскольку данный четырехугольник образован серединными перпендикулярами и высотами в одном треугольнике, то данный четырехугольник является параллелограммом. А что мы знаем насчет диагоналей параллелограмма?
Подсказка 4
Верно, OH делится A1C1 пополам. Стоп, то есть середина отрезка OH является еще и серединой отрезка A1C1? Но ведь середина ОН - это всегда центр окружности Эйлера! А не решили ли мы задачу?
По условию 
, а значит 
и 
— равнобедренные. Отсюда 
лежит на серединном перпендикуляре к
, а 
— на серединном перпендикуляре к 
. Также на обоих перпендикулярах находится точка 
. Но тогда
, откуда 
. Аналогично 
, откуда 
— параллелограмм, а значит 
делится 
пополам.
Сделаем гомотетию в ортоцентре с коэффициентом 
. Нетрудно понять, что описанная окружность перейдёт в окружность Эйлера.
Также очевидно, что 
перейдёт в середину отрезка 
, значит она и является центром окружности Эйлера. Таким образом, получили
требуемое.
что и требовалось доказать
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное обучение
в Школково
Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
