1. Пусть — вторая точка пересечения описанных окружностей и . Поскольку четырехугольник описанный, то . Четырехугольник также описанный, значит .

Поскольку , то .

Получаем, что . Тогда , , лежат на одной прямой.

2. Поскольку треугольники и равнобедренные, то и . Тогда . Также из определения (точка, симметричная относительно ) следует, что . Получается, что лежит на описанной окружности .

Из определения и . Тогда . Получаем, что лежит и на описанной окружности .

3. Обозначим за и середины и соответственно. Т.к. , то и — касательные к окружности, описанной около .

Рассмотрим пару окружностей: описанная окружность треугольника и окружность нулевого радиуса с центром в точке . Рассмотрим степени точек и относительно данных окружностей:

1)

2)

Получаем, что — радикальная ось наших 2 окружностей. Тогда на этой же радикальной оси лежат и . Тогда и — касательная к описанной окружности , и — касательная к описанной окружности . Тогда , — вписанный.

4. Окружность повторно пересекает стороны , , в точках , , соответственно. Окружность повторно пересекает стороны , , в точках , , соответственно.

Окружности и повторно пересекаются в точке . Заметим, что

поэтому лежит на окружности . Также

поэтому лежит на окружности . Аналогично лежит на окружностях , .

Пусть — инверсия с центром в точке и произвольным радиусом. Тогда

Также

Аналогично . Следовательно, треугольники и подобны. Проделывая аналогичные рассуждения для двух других сторон мы получаем

Следовательно, угол между окружностями и равен углу между окружностями и по подобию, с другой стороны, равен углу между окружностями и , поскольку инверсия сохраняет углы.