Тема . Остатки и сравнения по модулю
Обратные остатки
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела остатки и сравнения по модулю
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#84251

Пусть p  — простое число. Докажите, что (2p− 1)!− p  кратно p2.

Показать доказательство

Заметим, что

(2p − 1)!− p= p((p− 1)!(p +1)(p+ 2)...(2p − 1)− 1)

То есть достаточно показать, что вторая скобочка делится на p.  По теореме Вильсона

(p− 1)!(p +1)(p+ 2)...(2p − 1)− 1≡ −(p +1)(p +2)...(2p − 1)− 1

Видно, что (p+ 1)(p+ 2)...(2p− 1) ≡(p− 1)! (mod p)  (Вычли из каждой скобочки p  ). Таким образом,

(p+1)(p +2)...(2p − 1)+ 1≡ (p− 1)!+ 1≡ 0 (mod p)

что и требовалось.

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!