Решение 1.

Лемма. Для любого натурального найдётся натуральное такое что

Доказательство. Индукция по База индукции: Годится Переход индукции. Если то

Лемма доказана.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Утверждение задачи тоже доказываем индукцией по База: делится на . Переход. Пусть делится на Хотим добиться делимости на Пусть таково, что Можем считать, что не делится на а также что Тогда рассмотрим разность

Так как оба числа и делятся на и не делятся на то делится на

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Решение 2.

Покажем, что является показателем числа по модулю (при условии Этот показатель является делителем числа т.е. является степенью двойки. Но при любом натуральном верно Значит, показатель в самом деле равен

Таким образом, степени числа пробегают ровно четверть всевозможных остатков по модулю Но по модулю эти степени могут давать лишь остатки и а значит, степени числа пробегают все остатки по модулю дающие или по модулю В частности, остаток тоже пробегают.