Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела многочлены
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#85569

Многочлены P(x)  и Q(x)  с вещественными коэффициентами таковы, что P(x),P(x)− 1,Q(x),Q(x)− 1  раскладываются на линейные множители. Оказалось, что множества корней многочленов P (x)  и Q(x)  совпадают, а также совпадают множества корней многочленов P (x)− 1  и Q(x)− 1.  Докажите, что P (x)= Q(x).

Показать доказательство

Не умаляя общности, пусть n =degP ≥degQ.  Рассмотрим многочлен R(x)= P(x)− Q(x).  Заметим, что все корни многочленов P(x)  и P (x)− 1  являются корнями многочлена R(x).  Заметим, что в сумме у многочленов P(x)  и P(x)− 1  ровно 2n  корней (с учетом кратности). При этом каждый из корней этих многочленов входит с кратностью на один меньше в производную  ′           ′
P(x)= (P (x)− 1).  Всего у производной не более n− 1  корня, поэтому суммарно различных корней у P (x)  и P(x)− 1  не меньше n+ n− (n − 1)= n+ 1> degR.  Значит, R (x)= 0,  откуда P (x)= Q(x).

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!