Исходная система имеет решения, если новая система (где поменяны местами переменные и )

также имеет решения.

Первое уравнение задает уголок, который строится последовательно следующим образом:

Вершина уголка , , следовательно, она движется по гиперболе .

Второе уравнение при фиксированном задает окружность:

Центр этой окружности , а радиус Следовательно, при изменении центр окружности движется по прямой . Значит, при всех это уравнение задает полосу . Таким образом, нам необходимо, чтобы уголок находился в таком положении, когда существует хотя бы одна точка пересечения уголка с этой полосой (тогда существует хотя бы одна окружность, с которой уголок имеет общие точки). На рисунке розовым цветом обозначено граничное положение уголка, выше которого общих точек с полосой нет, а фиолетовым — промежуточные положения, когда общие точки имеются:

Заметим, что если вершина уголка находится на ветви гиперболы, находящейся в III четверти, то уголок всегда пересекает полосу. Это задается условием . Если же вершина уголка находится на ветви, лежащей в I четверти, то требуется найти розовое граничное положение, когда вершина уголка лежит на верхней границе полосы, то есть в точке пересечения гиперболы и прямой

Таким образом, при уголок имеет общие точки с полосой. Следовательно, ответ или