Тема . Стереометрия в координатах
.07 Упрощённые 13 в координатах
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела стереометрия в координатах
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#24701

В основании четырёхугольной пирамиды SABCD  лежит прямоугольник ABCD  со сторонами AB  = 12  и        √-
BC  = 5 3  . Длины боковых рёбер пирамиды SA = 5  , SB  = 13  , SD = 10  .

а) Докажите, что SA  — высота пирамиды.

б) Найдите расстояние от вершины A  до плоскости SBC  .

Показать ответ и решение

Введём прямоугольную систему координат(см. рисунок).

Точка A  - начало координат,

Ось OX  направим вдоль вектора −A−→B  ,

Ось OY  направим вдоль вектора −−→
AD  ,

Ось OZ  направим в верхнюю полупространство перпендикулярно векторам −−→
AB  и −−→
AD  .

PIC

a) Заметим, что AB2 + SA2 = SB2  и SA2 + AD2  = SD2  , поэтому SA ⊥ AB  , SA ⊥ AD  , значит, SA ⊥  ABC  . ч.т.д

б) Из пункта а) следует, что точка S  по координате z  имеет значение = SA = 5  . Тогда:

    (  )
      0
A = || 0||
    (  )
      0     (   )
      12
B = || 0 ||
    (   )
      0      (    )
       12
C  = ||5√3-||
     (    )
       0     (  )
      0
S = || 0||
    (  )
      5

     ( )           (   )   ( )    (   )
      x              12     0      12
−S→B : ||y|| = B − S = || 0 || − ||0||  = || 0 ||
     ( )           (   )   ( )    (   )
      z              0      5      − 5

    (  )           (    )   (  )   (    )
      x               12       0       12
−S→C :|| y|| = C − S = || 5√3|| − || 0|| = || 5√3||
    (  )           (    )   (  )   (    )
      z               0       5      − 5

Параметрически зададим уравнение плоскости SBC  :

      (  )
        x
SBC  :|| y|| = S + α⋅−S→B + β ⋅−S→C,  α,β ∈ ℝ
      (  )
        z

      (  )   (  )     (   )      (    )
        x      0        12         12
SBC  :|| y|| = || 0|| + α⋅||  0|| + β ⋅|| 5√3-||
      (  )   (  )     (   )      (    )
        z      5        − 5        − 5

Пусть H  - проекция точки A  на плоскость SBC  , тогда:

   (  )   (           )
     x       12α+ 12β
H :|| y|| = ||    5√3β   ||
   (  )   (           )
     z      5− 5α − 5β

     (  )           (          )
       x              12α + 12β
−A−→H  :|| y|| = H − A = ||   5√3-β  ||
     (  )           (          )
       z              5− 5α− 5β

Очевидно, что AH  ⊥ SB  и AH  ⊥ SC  , следовательно, (AH, SB) = 0  и (AH, SC ) = 0

                  ( (           )   (   )
                  |||| | 12α + 12β |   | 12 |
                  |||| ||   5√3-β   || × || 0 || = 0
(                 |||| (           )   (   )
{ (AH, SB) = 0    { ( 5− 5α − 5β )  (− 5 )
( (AH, SC) = 0  = ||   12α + 12β       12         =
                  |||| ||    √ -    ||   || √ -||
                  |||| |(   5  3β   |) × |(5  3|) = 0
                  ||(
                      5− 5α − 5β      − 5

  (               √ -
  {12(12α+ 12β) +5  3β ⋅0− 5(5 − 5α− 5β) = 0
= (                                          =
   12(12α+ 12β) +75β − 5(5− 5α− 5β) = 0

  (                         (
  {169α + 169β = 25         { α = 25-
=                         =       169
  (169α + 169β + 75β = 25   ( β = 0

     (  )   (     -25- )      (   )
−−→   | x|   |  12⋅169 |      | 5 |
AH  :|( y|) = |(    0    |) = 16069|( 0 |)
       z     5 − 5⋅12569         12

Найдем |AH |

          √------------
|AH | = 61069 52 + 02 +122 = 61069 ⋅13 = 6013

Ответ:

ρ(A,SBC  ) = 6103

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!