Задача №24699: Упрощённые 13 в координатах — Каталог задач по ЕГЭ - Математика

Тема . Стереометрия в координатах

.07 Упрощённые 13 в координатах

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела стереометрия в координатах

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#24699

Точки $N$ и $M$ - середины рёбер $AD$ и $CC1$ куба $ABCDA1B1C1D1$ соответственно.

а) Доказать, что прямая $BM ⊥ B1N$

б) Пусть $H$ - проекция точки $M$ на прямую $B N 1$ . Найти $B H 1$ , если $AB = 12$

Показать ответ и решение

Введём прямоугольную систему координат(см. рисунок).

Точка $A$ - начало координат,

Ось $OX$ направим вдоль вектора $−A−→B$ ,

Ось $OY$ направим вдоль вектора $−−→ AD$ ,

Ось $OZ$ направим вдоль вектора $−−→ AA1$ .

Пусть $AB = a$ , тогда имеем следующие координаты точек:

$( ) 0 || || A = ( 0) 0$ $( ) a || || B = (0) 0$ $( ) a || || C = ( a) 0$ $( ) 0 || || D = ( a) 0$

$( 0) || || A1 = ( 0) a$ $( a) || || B1 = ( 0) a$ $(a) || || C1 = (a) a$ $( 0) || || D1 = ( a) a$

Так как $N$ - середина $AD$ :

$( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x 0 0− 0 0 0 0 || || 1−−→ || || 1 || || || || || a|| || a|| N :( y) = A + 2AD = ( 0) + 2 ⋅( a− 0) = ( 0) + ( 2) = ( 2) z 0 0− 0 0 0 0$

Так как $M$ - середина $CC1$ :

$( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x a a− a a 0 a M :|| || = C + 1−C−C→ = || || + 1⋅|| || = || || + || || = || || (y ) 2 1 ( a) 2 ( a− a) ( a) ( 0) ( a) z 0 a− 0 0 a2 a2$

а) Прямые перпендикулярны, если перпендикулярны их направляющие вектора. То есть, $BM ⊥ B1N$ , если $−B−M→ ⊥ −B−−→N 1$ . Найдем вектора $−−B→M ,−B−−→N 1$ :

$( ) ( ) ( ) ( ) −−→ | x| | a| |a| |0| BM :|( y|) = M − B = |( a|) − |(0|) = |(a|) z a2 0 a2$

$( ) ( ) ( ) ( ) −−−→ |x| |0 | |a| | − a| B1N :|(y|) = N − B1 = |(a2|) − |(0|) = |( a2 |) z 0 a − a$

Найдем скалярное произведение $−−→ BM$ и $−−−→ B1N$ :

$( ) ( ) 0 − a (−B−M→,−B−−→N) = ||a || × || a || = 0⋅(− a) + a⋅ a + a⋅(− a) = 0 1 ( a) ( 2 ) 2 2 2 − a$

Скалярное произведение равно 0, следовательно, вектора перпендикулярны.

$−−→ −−−→ BM ⊥ B1N → BM ⊥ B1N$ ч.т.д.

б) Из условия $AB = 12$ узнаем, что $a = 12$

Найдем уравнение прямой $B1N$ :

$( ) ( ) ( ) |x| | 12| |− 12| B1N :|y| = B1 + α ⋅−−B1−→N = | 0| + α ⋅| 6 | , α ∈ ℝ ( ) ( ) ( ) z 12 − 12$

Так как $H$ принадлежит $B1N$ :

$( ) ( ) | x| | 12− 12α| H :|( y|) = |( 6α |) z 12− 12α$

$( ) ( ) ( ) ( ) | x| | 12− 12α| | 12| | − 12α | −M−→H :|( y|) = H − M = |( 6α |) − |( 12|) = |( 6α− 12|) z 12− 12α 6 6− 12α$

По условию $H$ - проекция точки $M$ на $B1N$ , из следует, что $−M−→H ⊥ −−B−1→N$ и $(−M−→H, −−B−1→N ) = 0$

$( ) ( ) − 12α − 12 (−M−→H,−B−1−N→ ) = ||6α − 12|| × || 6 || = − 12α⋅(− 12)+ (6α − 12) ⋅6+ (6− 12α)⋅(− 12) = 0 ( ) ( ) 6 − 12α − 12$

12α ⋅12+ (6α− 12)⋅6 +(12α − 6)⋅12 = 0

4α + α− 2+ 4α − 2 = 0

4 α = 9

$( ) ( ) ( ) ( ) |x| | 12 − 12α| | 12| |− 12α| −B−1−→H :|(y|) = H − B = |( 6α |) − |( 0|) = |( 6α |) z 12 − 12α 12 − 12α$

Подстваим найденное значение $α$

$( ) ( 4) ( ) −−−→ |x| |− 12⋅9| | − 2| B1H :|(y|) = |( 6⋅ 49 |) = 83 ⋅|( 1|) z − 12⋅ 4 − 2 9$

$−−−→ ∘ ----------------- √- |B1H | = 83 (− 2)2 + 12 + (− 2)2 = 83 9 = 8$

Следовательно, $B1H = 8$ , что и требовалось найти.

Ответ:

б) $B1H = 8$

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Специальные программы

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное обучениев Школково

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное обучениев Школково

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Бесплатное обучение
в Школково

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Бесплатное обучение
в Школково

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ