Стереометрия в координатах —Каталог задач по ЕГЭ - Математика

Тема Стереометрия в координатах

01 Стереометрия в координатах

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела стереометрия в координатах

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#21479

Даны три различные точки, являющиеся серединами сторон какого-то треугольника.

$( ) ( ) ( ) 3 5 7 || || || || || || M1 = ( 0) ,M2 = (− 2) ,M3 = (0) − 4 3 0$ .

Найдите уравнения направляющих векторов прямых, на которых лежат стороны этого треугольника.

Показать ответ и решение

Из условия понятно, что $M1M2, M1M3, M2M3$ - средние линии этого треугольника. Тогда в силу того, что средние линии параллельны соответствующим сторонам треугольника, вектора $M1M2, M1M3, M2M3$ будут попарно коллинеарны соответствующим направляющим векторам прямых, на которых лежат стороны треугольника.

$( ) ( ) ( ) ( ) | x| | 5| | 3 | | 2 | M1M2 :|( y|) = M2 − M1 = |( − 2|) −|( 0 |) = |(− 2|) z 3 − 4 7$

$( ) ( ) ( ) ( ) x 7 3 4 M M :|| y|| = M − M = || 0|| − || 0 || = || 0|| 1 3 ( ) 3 1 ( ) ( ) ( ) z 0 − 4 4$

$( ) ( ) ( ) ( ) | x| | 7| | 5 | | 2| M2M3 :|( y|) = M3 − M2 = |( 0|) − |( − 2|) = |( 2|) z 0 3 − 3$

Ответ:

$( ) ( ) | x| | 2| M1M2 :|( y|) = |( − 2|) z 7$

$( ) ( ) x 4 M1M3 :|| y|| = || 0|| ( ) ( ) z 4$

$( ) ( ) | x| | 2 | M2M3 :|( y|) = |( 2 |) z − 3$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#21671

Даны две прямые $( ) ( ) | − 10| | 3| l1 = |( − 8 |) + α⋅|( 5|) 6 9$ и $( ) ( ) | − 11| | − 5 | l2 = |( − 3|) + β ⋅|(− 11|) − 11 − 9$ . Являются ли они скрещивающимися?

Показать ответ и решение

Если прямые не являются параллельными и не пересекаются, то они скрещиваются. Нужно проверить оба варианта расположения прямых.

Чтобы прямые были параллельны, нужно, чтобы их направляющие вектора были коллинеарны. Попробуем найти коэффициент пропорциональности $k$ двух направляющих векторов:

( ) ( ) | 3| | − 5| |( 5|) = k⋅|( − 11|) 9 − 9

Отсюда следует, что $k ∈ ∅$ . Получаем, что направляющие вектора не коллинеарны, следовательно, прямые, образованные этими направляющими векторами, не будут параллельными.

Чтобы проверить пересечение прямых, нужно выяснить - возможно ли подобрать такие параметры $α,β$ , при которых будет совпадение всех трёх координат двух прямых. Для этого нужно решить систему из трёх уравнений:

( ( || − 10+ 3α = − 11− 5β || α = −1−5β |{ |{ 3 | − 8+ 5α = − 3− 11β = | 5α = 5 − 11β = ||( 6+ 9α = − 11− 9β ||( 6+ 3(− 1 − 5β ) = − 11 − 9β

( ( ( |||{ α = − 398 |||{ α = − 389 |||{α = − 398 = 5α = 5 − 11β − 5 ⋅ 38= 5 − 11 ⋅ 7 = − 190= − 186 ||| ||| 9 3 ||| 9 9 ( β = 73 ( β = 73 (β = 73

Отсюда следует, что прямые не пересекаются.

Получаем, прямые не являются параллельными и не пересекаются $→$ они скрещиваются.

Варианты правильных ответов:

Да
да

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#21670

Даны две прямые $( ) ( ) | − 14| | 2| l1 = |( 1 |) + α⋅|( − 7|) 0 7$ и $( ) ( ) | − 9 | | − 10| l2 = |( 15 |) + β ⋅|( − 7|) − 14 7$ . Являются ли они пересекающимися?

Показать ответ и решение

(| ( ||{− 14+ 2α = − 9 − 10β { 5 1 − 7α = 15 − 7β ⋅⋅⋅ α = − 4 |||( ( β = 34 0 + 7α = − 14+ 7β

Теперь мы можем подставить найденные парамаетры $α,β$ в соответствующие уравнения прямых и убедиться, что координаты полученных точек будут совпадать:

( ) ( ) ( ) ( 5 ) ( 33) | − 14| 5 | 2| |− 14| | −2 | | − 2| l1 = |( 1 |) − 4 ⋅|( − 7|) = |( 1 |) + |( 354 |) = |( 394-|) 0 7 0 − 35 − 35 4 4

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) − 9 − 10 − 9 − 152- − 323 l2 = || 15 || + 3 ⋅|| − 7 || = || 15 || + || − 21|| = || 39 || ( ) 4 ( ) ( ) ( 241) ( 435) − 14 7 − 14 4 − 4

Варианты правильных ответов:

Да
да

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#21669

Даны две прямые $( ) ( ) | 15 | | − 4| l1 = |( − 5|) + α⋅|( − 14|) 4 3$ и $( ) ( ) | 11| |− 2| l2 = |( 13|) + β ⋅|(− 7|) 8 32$ . Являются ли они параллельными?

Показать ответ и решение

( ) ( ) − 4 − 2 || − 14|| = k⋅|| − 7|| ( ) ( 3) 3 2

Отсюда следует, что $k = 2$ . Получаем, что направляющие вектора коллинеарны, следовательно, прямые, образованные этими направляющими векторами, будут параллельными.

Варианты правильных ответов:

Да
да

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#21668

Даны две прямые $( ) ( ) | 13 | | − 5| l1 = |( − 11|) + α⋅|( − 12|) − 13 6$ и $( ) ( ) | − 7| | 5 | l2 = |( 0 |) + β ⋅|( 12|) 13 − 6$ . Являются ли они параллельными?

Показать ответ и решение

( ) ( ) − 5 5 || − 12|| = k⋅|| 12|| ( ) ( ) 6 − 6

Отсюда следует, что $k = − 1$ . Получаем, что направляющие вектора коллинеарны, следовательно, прямые, образованные этими направляющими векторами, будут параллельными.

Варианты правильных ответов:

Да
да

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#21665

Даны две прямые $( ) ( ) | − 4| | 0| l1 = |( 0 |) + α⋅|( 3|) − 4 − 5$ и $( ) ( ) |10 | | − 14| l2 = |(− 7|) + β ⋅|( 13|) − 7 − 7$ . Являются ли они пересекающимися?

Показать ответ и решение

(| ( ||{ − 4 + 0α = 10 − 14β { 0+ 3α = − 7 + 13β ⋅⋅⋅ α = 2 |||( (β = 1 − 4 − 5α = − 7− 7β

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) |− 4| | 0| | − 4| | 0 | | − 4 | l1 = |( 0 |) + 2⋅|( 3|) = |( 0 |) + |( 6 |) = |( 6 |) − 4 − 5 − 4 − 10 − 14

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 10 − 14 10 − 14 − 4 l2 = || − 7|| + 1 ⋅|| 13 || = || − 7|| + || 13 || = || 6 || ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) − 7 − 7 − 7 − 7 − 14

Варианты правильных ответов:

Да
да

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#21672

Даны точки A, B, C, D. Найдите точку пересечения прямых AB и CD.

$( ) 1 || || A = ( 2) , 3$ $( ) 2 || || B = ( 2) , 2$ $( ) 1 || || C = ( 1) , 1$ $( ) 2 || || D = ( 2) . 2$

Показать ответ и решение

Составим уравнения прямых $AB$ и $CD$ :

( ) ( ) ( ) ( ) | 1| |2 − 1| |1| | 1 | AB = A + α⋅A⃗B = A + α⋅(B − A) = |( 2|) + α ⋅|(2 − 2|) = |(2|) +α ⋅|( 0 |) ,α ∈ ℝ 3 2 − 3 3 − 1

( ) ( ) ( ) ( ) |1| |2 − 1| |1| | 1| CD = C +β ⋅C⃗D = C + β ⋅(D − C) = |(1|) + β ⋅|(2 − 1|) = |(1|) +β ⋅|( 1|) ,β ∈ ℝ 1 2 − 1 1 1

Далее, находим точку пересечения между двумя прямыми аналогично базисной задаче 1 из методички.

Ответ:

$( ) |2| |(2|) 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#21673

Даны точки A, B, C, D. Найдите точку пересечения прямых AB и CD.

$( ) 1 || || A = ( − 2) , 3$ $( ) 0 || || B = ( − 4) , − 1$ $( ) − 2 || || C = ( − 1) , − 2$ $( ) − 6 || || D = ( 1 ) . − 5$

Показать ответ и решение

Составим уравнения прямых $AB$ и $CD$ , где $α,β ∈ ℝ$ :

( ) ( ) ( ) ( ) | 1 | | 0 − 1 | | 1 | |− 1| AB = A + α ⋅A⃗B = A + α ⋅(B − A ) = |(− 2|) + α ⋅|(− 4− (− 2)|) = |( − 2|) + α ⋅|(− 2|) 3 − 1 − 3 3 − 4

( ) ( ) ( ) ( ) | − 2| |− 6− (− 2)| | − 2| | − 4| CD = C + β ⋅C⃗D = C + β ⋅(D − C ) = |( − 1|) + β ⋅|( 1 − (− 1)|) = |( − 1|) +β ⋅|( 0 |) − 2 − 5− (− 2) − 2 − 3

Далее, находим точку пересечения между двумя прямыми аналогично базисной задаче 1 из методички.

Ответ:

$( 5 ) | 8 | ||− 11|| ||--4-|| ( 3 ) 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#21676

Даны точки A, B, C, D. Найдите точку пересечения прямых AB и CD.

$( ) 3 || || A = ( − 3) , 2$ $( ) 2 || || B = (− 2) , 4$ $( ) − 1 || || C = ( 4 ) , − 26$ $( ) 2 || || D = ( 0 ) . − 20$

Показать ответ и решение

Составим уравнения прямых $AB$ и $CD$ , где $α,β ∈ ℝ$ :

( ) ( ) ( ) ( ) | 3 | | 2 − 3 | | 3 | |− 1| AB = A + α ⋅A⃗B = A + α ⋅(B − A ) = |(− 3|) + α ⋅|(− 2− (− 3)|) = |( − 3|) + α ⋅|( 1 |) 2 4 − 2 2 2

( ) ( ) ( ) ( ) | − 1 | | 2 − (− 1)| | − 1 | | 3 | CD = C + β ⋅C⃗D = C + β ⋅(D − C) = |( 4 |) + β ⋅|( 0− 4 |) = |( 4 |) + β ⋅|( − 4|) − 26 − 20 + 26 − 26 6

Далее, находим точку пересечения между двумя прямыми аналогично базисной задаче 1 из методички.

Ответ:

$( ) | 8 | |(− 8|) − 8$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#21677

Даны точки A, B, C, D. Найдите точку пересечения прямых AB и CD.

$( ) 1 || || A = ( 2 ) , − 1$ $( ) 2 || || B = ( 3) , 1$ $( ) − 4 || || C = ( 3) , − 5$ $( ) − 2 || || D = ( 2 ) . − 4$

Показать ответ и решение

Составим уравнения прямых $AB$ и $CD$ , где $α,β ∈ ℝ$ :

( ) ( ) ( ) ( ) | 1| | 2 − 1 | | 1 | |1| AB = A + α⋅A⃗B = A+ α ⋅(B − A) = |( 2|) + α ⋅|( 3 − 2 |) = |( 2 |) + α ⋅|(1|) − 1 1− (− 1) − 1 2

( ) ( ) ( ) ( ) | − 4| |− 2− (− 4)| | − 4| | 2 | CD = C + β ⋅C⃗D = C + β ⋅(D − C ) = |( 3|) + β ⋅|( 2− 3 |) = |( 3|) +β ⋅|( − 1|) − 5 − 4− (− 5) − 5 1

Далее, находим точку пересечения между двумя прямыми аналогично базисной задаче 1 из методички.

Ответ:

$( ) | 0 | |( 1 |) − 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#21679

Даны точки A, B, C, D. Найдите точку пересечения прямых AB и CD.

$( ) 4 || || A = ( 2) , 3$ $( ) 3 || || B = ( 2) , 3$ $( ) − 3 || || C = ( − 2) , − 1$ $( ) − 2 || || D = ( − 1) . 0$

Показать ответ и решение

Составим уравнения прямых $AB$ и $CD$ , где $α,β ∈ ℝ$ :

( ) ( ) ( ) ( ) |4| |3 − 4| | 4| | − 1| AB = A + α⋅A⃗B = A + α⋅(B − A) = |(2|) + α ⋅|(2 − 2|) = |( 2|) +α ⋅|( 0 |) 3 3 − 3 3 0

( ) ( ) ( ) ( ) | − 3| |− 2− (− 3)| | − 3| |1| CD = C + β ⋅C⃗D = C + β ⋅(D − C ) = |( − 2|) + β ⋅|(− 1− (− 2)|) = |( − 2|) + β ⋅|(1|) − 1 0− (− 1) − 1 1

Далее, находим точку пересечения между двумя прямыми аналогично базисной задаче 1 из методички.

Ответ:

$( ) |1| |(2|) 3$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#22084

Даны два вектора. Требуется найти угол между ними.

$⃗a$ = $( ) 3 || || (4) , 2$ $⃗ b$ = $( ) − 1 || || ( 0) . 1$

Показать ответ и решение

Найдем угол между векторами через формулу скалярного произведения:

⃗a ×⃗b = |⃗a|⋅|⃗b|⋅cos ∠(⃗a,⃗b)

Отсюда выразим угол:

⃗a× ⃗b ∠(⃗a,⃗b) = arccos----⃗- |⃗a|⋅|b|

Найдём скалярное произведение:

⃗a× ⃗b = 3 ⋅(− 1)+ 4⋅0 +2 ⋅1 = − 1

Найдем модули векторов:

∘ ----------- -- ∘ -------------- - |a| = 32 + 42 +22 = √29 |b| = (− 1)2 + 02 + 12 = √ 2

Подставим найденные значения в формулу:

− 1 − 1 ∠(⃗a,⃗b) = arccos√----√--= arccos√--- 29⋅ 2 58

Ответ:

$arccos√−518$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#21681

Даны уравнение прямой $( ) ( ) | − 4| | − 10| l = |( − 9|) +α ⋅|( 8 |) − 9 0$ и уравнение плоскости $( ) ( ) ( ) | − 10| |− 14| | − 2| P = |( − 5|) + β ⋅|( 15 |) + γ ⋅|( − 1|) − 6 12 − 9$ Требуется узнать положение прямой $l$ относительно плоскости $P$ . Если прямая пересекает плоскость, найти точку пересечения.

Показать ответ и решение

Чтобы проверить пересечение прямой и плоскости, нужно выяснить - возможно ли подобрать такие параметры $α,β,γ$ , при которых будет совпадение всех трёх координат прямой и плоскости, то есть найдется общая точка. Для этого нужно решить систему из трёх уравнений:

(| (| ||{− 4− 10α = − 10 − 14β − 2γ ||{ α = 9 − 9+ 8α = − 5 + 15β − 1γ ⋅⋅⋅ β = 5 |||( |||( − 9+ 0α = − 6 + 12β − 9γ γ = 7

Теперь мы можем подставить найденные парамаетры $α,β,γ$ в соответствующие уравнения и убедиться, что координаты полученных точек будут совпадать:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) | − 4| | − 10| |− 4| |− 90| | − 94| l = | − 9| + 9⋅| 8 | = |− 9| + | 72 | = | 63 | ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) − 9 0 − 9 0 − 9

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) − 10 − 14 − 2 − 10 − 70 − 14 − 94 P = || − 5 || + 5⋅|| 15 || + 7⋅|| − 1|| = || − 5 || + || 75 || + || − 7 || = || 63 || ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) − 6 12 − 9 − 6 60 − 63 − 9

Ответ:

Прямая пересекает плоскость в точке c координатам $( ) |− 94| |( 63 |) − 9$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#22083

Даны два вектора. Требуется найти угол между ними.

$⃗a$ = $( ) − 3 || || (− 3) , 3$ $⃗ b$ = $( ) 3 || || ( 3) . 6$

Показать ответ и решение

Найдем угол между векторами через формулу скалярного произведения:

⃗a ×⃗b = |⃗a|⋅|⃗b|⋅cos ∠(⃗a,⃗b)

Отсюда выразим угол:

⃗a× ⃗b ∠(⃗a,⃗b) = arccos----⃗- |⃗a|⋅|b|

Найдём скалярное произведение:

⃗a× ⃗b = (− 3)⋅3+ (− 3)⋅3 + 3⋅6 = 0

Подставив ноль в числитель, получим $∠ (⃗a,⃗b) = arccos(0) ⇒ ∠(⃗a,⃗b) = π2$

Следовательно, $⃗a ⊥ ⃗b$ .

Ответ:

$∠ (⃗a,⃗b) = π2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#21683

Даны уравнение прямой $( ) ( ) | − 7| | − 7| l = |( 11|) +α ⋅|( − 7|) − 2 0$ и уравнение плоскости $( ) ( ) ( ) | 0| | 4| | 5 | P = |( 8|) + β ⋅|( 4|) + γ ⋅|( − 7|) − 3 0 0$ Требуется узнать положение прямой $l$ относительно плоскости $P$ . Если прямая пересекает плоскость, найти точку пересечения.

Показать ответ и решение

Стоит заметить, что направляющий вектор прямой коллинеарен одному из направляющих векторов плоскости.

( ) ( ) | − 7| |4| 7 |( − 7|) = k ⋅|(4|) → k = −- 0 0 4

Тогда прямая либо параллельна, либо лежит в плоскости. Чтобы убедиться, что прямая параллельна плоскости, нужно взять любую точку на прямой и доказать, что она не лежит в плоскости. Возьмем точку на прямой $( ) 0 || || A = ( 4) − 2$ , полученную из уравнения прямой при $α = 1$ . Приравняем координаты точки к координатам плоскости:

( ) ( ) ( ) ( ) | 0| | 0 | | 4| | 5| |( 4|) = |( 8 |) + β ⋅|( 4|) + γ ⋅|( − 7|) − 2 − 3 0 0

Приведем следующее рассуждение: из равенства по $z$ координате следуюет, что при любых параметрах $β,γ$ , равенство недостижимо, следовательно, точка не принадлежит плоскости.

Из всего вышеизложенного можем однозначно сделать вывод, что прямая параллельна плоскости.

Кроме того, эту задачу можно было решить вторым способом - просто в системе приравнять координаты и доказать, что у полученной системы нет решений.

( ( ||| − 7 − 7α = 0 + 4β + 5γ ||| α ∈ ∅ { { || 11− 7α = 8+ 4β − 7γ ⋅⋅⋅ || β ∈ ∅ |( − 2 + 0α = − 3+ 0β +0γ |( γ ∈ ∅

Ответ:

Прямая параллельна плоскости.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#22082

Даны два вектора, перпендикулярны ли они? В ответ запишите слово "да" или "нет" (без кавычек с маленькой буквы), если векторы перпендикулярны или не перпендикулярны, соответственно.

$⃗a$ = $(− 3) | | |(− 3|) , − 3$ $⃗b$ = $( 3) | | |( 3|) . 3$

Показать ответ и решение

Чтобы установить перпендикулярность векторов, нужно найти их скалярное произведение. Если скалярное произведение равно нулю, то вектора перпендикулярны.

⃗a ×⃗b = (− 3)⋅3 +(− 3)⋅3+ (− 3)⋅3 = − 27

Следовательно, вектора не перпендикулярны.

Ответ: нет

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#21684

Даны уравнение прямой $( ) ( ) | 10| | − 3| l = |( − 14|) + α ⋅|( 8 |) − 5 5$ и уравнение плоскости $( ) ( ) ( ) | − 2| |− 9| | − 9| P = |( − 12|) + β ⋅|( 2 |) + γ ⋅|( − 8|) 3 6 2$ Требуется узнать положение прямой $l$ относительно плоскости $P$ . Если прямая пересекает плоскость, найти точку пересечения.

Показать ответ и решение

(| (| ||{10 − 3α = − 2− 9β − 9γ ||{ α = 4 − 14+ 8α = − 12 +2β − 8γ ⋅⋅⋅ β = 3 |||( |||( − 5+ 5α = 3+ 6β + 2γ γ = − 3

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) | 10 | | − 3| | 10 | |− 12| | − 2| l = | − 14| + 4⋅| 8| = |− 14| + | 32 | = | 18| ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) − 5 5 − 5 20 15

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) − 2 − 9 − 9 − 2 − 27 27 − 2 P = || − 12|| + 3⋅|| 2 || − 3⋅||− 8|| = || − 12|| + || 6 || + || 24|| = ||18 || ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 6 2 3 18 − 6 15

Ответ:

Прямая пересекает плоскость в точке c координатам $( ) |− 2| |( 18|) 15$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#22081

$⃗a$ = $(7) | | |(8|) , 5$ $⃗b$ = $( − 3) | | |( 2|) . 1$

Показать ответ и решение

⃗a ×⃗b = 7⋅(− 3)+ 8⋅2+ 5 ⋅1 = 0

Следовательно, $⃗a ⊥ ⃗b$ .

Ответ: да

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#21685

Даны уравнение прямой $( ) ( ) | 5| |− 4| l = |( 1|) + α ⋅|( 8 |) 12 9$ и уравнение плоскости $( ) ( ) ( ) |− 3| | 4 | | 2 | P = |( 1 |) + β ⋅|( − 6|) +γ ⋅|( 4 |) − 9 12 15$ Требуется узнать положение прямой $l$ относительно плоскости $P$ . Если прямая пересекает плоскость, найти точку пересечения.