20. Алгебраические выражения, уравнения, неравенства и их системы —Каталог задач по ОГЭ - Математика

Главная
Каталог задач
Каталог заданий по ОГЭ - Математика
Алгебраические выражения, уравнения, неравенства и их системы

Тема 20. Алгебраические выражения, уравнения, неравенства и их системы

20.01 Алгебраические выражения, уравнения, неравенства и их системы

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Разделы подтемы Алгебраические выражения, уравнения, неравенства и их системы

Алгебраические выражения

Уравнения

Неравенства

Системы уравнений

Подтемы раздела алгебраические выражения, уравнения, неравенства и их системы

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#31451

Решите систему уравнений

(| 2 { 6x +y =14 |( 12x2− y = 4

Показать ответ и решение

Преобразуем систему:

({ 2 6x + y = 14 (12x2− y = 4 ({ 2 y =14− 6x (y =12x2− 4 ( {12x2− 4=14− 6x2 (y =12x2− 4 ( {18x2 = 18 (y =12x2− 4 ( {x2 = 1 (y =12− 4 ⌊( |{x =1 ||(y =8 |||({ ⌈(x =− 1 y =8

Тогда ответ: $(1;8),(−1;8)$ .

Ответ:

$(1;8),$ $(−1;8)$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#31448

Решите систему уравнений $(| x y-−-2x 1 { 3 − 5 = 13 |( y+ 5 = x+-y- 2 6 3$

Показать ответ и решение

Преобразуем систему:

(| x y− 2x 4|| |{ 3 − --5-- = 3||⋅15 || y 5 x+ y|| ( 2 + 6 = -3--||⋅6 ( { 5x− (3y − 6x) =20 ( 3y+ 5= 2x+ 2y ( { 11x= 20+ 3y ( y = 2x− 5 ({ 11x= 20+ 3(2x− 5) ( y = 2x− 5 ( { 11x= 20+ 6x− 15 ( y = 2x− 5 ( { 5x= 5 ( y = 2x− 5 ({ x= 1 ( y = − 3

Тогда ответ: $(1;− 3)$ .

Ответ:

$(1;−3)$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#31262

Решите уравнение $---1--- -3--- (x− 3)2 = x− 3 +4.$

Показать ответ и решение

Сделаем замену $-1- x−3 = t,$ тогда уравнение примет вид:

2 2 t= 3t+ 4 ⇔ t − 3t− 4 = 0

Найдем дискриминант уравнения:

2 √ -- D = 3 − 4⋅(−4)= 25 ⇔ D = 5

Следовательно,

⌊ 3+-5 ⌊ || t= 2 ⌈t= 4 ⌈ 3−-5 ⇔ t= − 1 t= 2

Сделаем обратную замену:

⌊--1-- ⌊ 1 ⌊ ||x − 3 = 4 |x − 3 = 4 ⌈ x= 3,25 ⌈--1-- ⇔ ⌈ ⇔ x= 2 x − 3 = −1 x − 3 = −1

Ответ: 2; 3,25

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#76604

Решите уравнение $2x2+-7x−-4= 1. x2− 16$

Показать ответ и решение

Выпишем ОДЗ:

2 x − 16⁄= 0 ⇔ x⁄= ±4

Теперь домножим обе части уравнения на $(x2− 16)⁄= 0$ и решим полученное уравнение:

2x2+ 7x− 4= x2 − 16 2 x + 7x+ 12= 0 (x+ 3[)(x +4)= 0 x= −3 x= −4

Заметим, что корень $x = −4$ не входит в ОДЗ. Таким образом, получаем, что $x = −3$ — единственный корень.

Ответ:

$− 3$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#76603

Решите уравнение $( )( ) 2 − x2-+2x 4 − x2+-2x =3. 3 3$

Показать ответ и решение

Решим уравенение методом замены переменной. Пусть $t= x2+-2x. 3$ Тогда получаем уравнение

(2− t)(4 − t)= 3 t2− 6t+ 8= 3 t2− 6t+ 5= 0 D = 62 − 4 ⋅1 ⋅5= 36− 20= 16= 42 √ -- −-(−-6)±--D- 6±-4 t1,2 = 2⋅1 = 2 t1 = 1, t2 = 5

Сделаем обратную замену для $t1 :$

t1 = 1 2 x-+-2x-= 1 23 x + 2x = 3 x2+ 2x− 3= 0 (x+ 3)(x − 1)= 0 x1 = − 3, x2 = 1

Для $t2 :$

t2 = 5 x2+-2x-= 5 3 x2+ 2x =15 x2+ 2x− 15= 0 (x+ 5)(x − 3)= 0 x1 = − 5, x2 = 3

Таким образом, получаем четыре корня: $− 5;$ $− 3;$ 1; 3.

Ответ:

$− 5;−3;1;3$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#76601

Решите уравнение $( )( ) x2− 5x x2 − 5x +10 + 24= 0.$

Показать ответ и решение

Решим уравенение методом замены переменной. Пусть $t= x2− 5x.$ Тогда получаем уравнение

t⋅(t+ 10)+ 24= 0 2 2 t+ 10t+ 24= 0 2 D = 10 − 4 ⋅1 ⋅24= 100− 96 = 4= 2 −10 ±√D-- −10 ±2 t1,2 =---2⋅1---= ---2--- t1 = −4, t2 = − 6

Сделаем обратную замену для $t : 1$

t1 = −4 x2− 5x= − 4 x2− 5x+ 4= 0 (x− 1)(x − 4)= 0 x1 = 1, x2 = 4

Для $t2 :$

t1 = −6 x2− 5x= − 6 x2− 5x+ 6= 0 (x− 2)(x − 3)= 0 x3 = 2, x4 = 3

Таким образом, получаем четыре корня: 1; 2; 3; 4.

Ответ: 1; 2; 3; 4

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#76600

Решите уравнение $x5− 7x3 +12x = 0.$

Показать ответ и решение

Вынесем $x$ за скобки:

(4 2 ) x ⋅x − 7x + 12 = 0

Произведение равно 0, если хотя бы один из множителей равен 0, то есть уравенение равносильно совокупности

[ x=4 0 2 x − 7x +12 =0

Получили корень $x= 0.$ Решим второе уравнение методом замены переменной. Пусть $t= x2,$ тогда получаем квадратное уравнение

2 t − 7t+12 =0 D = (−7)2− 4⋅1⋅12= 49− 48= 1 √ -- t1,2 = −-(−-7)±-D-= 7±-1 2⋅1 2 t1 = 4, t2 = 3

Сделаем обратную замену:

$pict$

Таким образом, получаем пять корней: $− 2;$ $√- − 3;$ 0; $√ - 3;$ 2.

Ответ:

$√ - √ - − 2;− 3;0; 3;2$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#76599

Решите уравнение $3x4− 13x2+ 4 =0.$

Показать ответ и решение

Решим уравенение методом замены переменной. Пусть $t =x2.$ Тогда получаем квадратное уравнение

3t2− 13t+ 4= 0 2 2 D =(−13) − 4⋅3⋅4= 169− 48= 121= 11 −(−13)± √D- 13± 11 t1,2 =----2⋅3---- = --6--- 1 t1 = 4, t2 = 3

Сделаем обратную замену:

$pict$

Ответ:

$− 2;$ $− √1; 3$ $√1-; 3$ 2

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#69183

Сократите дробь $5n+2⋅33n+2. 55n+3 ⋅3n−1$

Показать ответ и решение

Разложим 33 на множители: $33= 3⋅11,$ аналогично $55= 5⋅11.$ Тогда перепишем дробь в виде:

5n+2⋅33n+2 5n+2 ⋅3n+2⋅11n+2 33 27 55n+3⋅3n−1 = 5n+3⋅11n+3⋅3n−1 = 11-⋅5 = 55

Ответ:

$27 55$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#69182

Сократите дробь $7n+2+-7n−1. 7n−2+ 7n+1$

Показать ответ и решение

Вынесем общий сомножитель в числителе и знаменателе. Получим следующее:

7n+2 +7n−1 7n−1⋅(1+ 73) 7n−1 7n−2-+7n+1-= 7n−2⋅(1+-73)-= 7n−2 = 7

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#69181

Сократите дробь $n ---12----. 22n−3 ⋅3n−1$

Показать ответ и решение

Заметим, что $12 = 3⋅4= 3⋅22.$ Поэтому можем переписать дробь в следующем виде:

12n 3n⋅22n 3 22n−3⋅3n−1 = 22n−3⋅3n−1 = 3 ⋅2 =24

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#69180

Сократите дробь $n ---75----. 52n−1 ⋅3n−2$

Показать ответ и решение

Заметим, что $75 = 3⋅25= 3⋅52.$ Поэтому можем переписать дробь в следующем виде:

75n 3n⋅52n 2 52n−1⋅3n−2 = 52n−1⋅3n−2 = 3 ⋅5 =45

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#61041

Найдите значение выражения $31a− 4b+ 55,$ если $a−-4b+-7 = 8. 4a− b+ 7$

Показать ответ и решение

Знаменатель дроби не может быть равен 0, то есть $4a − b+ 7 ⁄=0.$

Перемножим дробь крест-накрест:

a-−-4b-+7 8 4a − b +7 = 1 (a − 4b +7)= 8 ⋅(4a− b+ 7) a− 4b+ 7= 32a− 8b+ 56 31a− 4b+ 49= 0

Теперь ответим на вопрос задачи:

31a− 4b+ 55= (31a− 4b+49)+ 6= 0 +6 = 6.

Ответ: 6

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#57252

Решите уравнение $√----- √ ----- x2− 2x + 6− x = 6− x+ 35.$

Показать ответ и решение

ОДЗ: $6− x ≥0 ⇔ x≤ 6$

Решим уравнение с учётом ОДЗ:

x2− 2x + √6−-x-=√6-−-x+ 35 x2− 2x− 35= 0 2 2 D = 2 + 4⋅35 =144= 12 x = 2-±12 1,2 2 x1 = 7 x2 = −5

ОДЗ соответствует только $x =− 5,$ поэтому ответ $− 5.$

Ответ:

$− 5$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#57052

Найдите значение выражения $25a− 5b+ 22,$ если $3a−-7b+-6 =4. 7a− 3b+ 6$

Показать ответ и решение

Перемножим дробь крест-накрест:

3a− 7b+ 6 4 7a−-3b+-6 = 1 3a − 7b +6 = 4⋅(7a − 3b+ 6) 3a− 7b+ 6= 28a− 12b+ 24 25a− 5b+ 18= 0

Теперь ответим на вопрос задачи:

25a − 5b +22 =(25a− 5b+ 18) +4 = 0+ 4= 4

Ответ: 4

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#57051

Найдите значение выражения $41a− 11b+ 15,$ если $4a−-9b+-3= 5. 9a− 4b+ 3$

Показать ответ и решение

Перемножим дробь крест-накрест:

4a− 9b+ 3 5 9a−-4b+-3 = 1 4a − 9b +3 = 5⋅(9a − 4b+ 3) 4a− 9b+ 3= 45a− 20b+ 15 41a− 11b+12 = 0

Теперь ответим на вопрос задачи:

41a− 11b +15 =(41a− 11b+ 12)+ 3 =0 +3 = 3

Ответ: 3

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#57050

Решите неравенство $---−-11---≥ 0. (x− 2)2− 3$

Показать ответ и решение

---−11---- (x− 2)2 − 3 ≥ 0 ------1-(√--)2-≤ 0 (x− 2)2 − 3 ----------1---------- (x− 2 − √3 )(x− 2+ √3) ≤0

Решим неравенство методом интервалов.

Найдём нули знаменателя:

$pict$

$√√- x22+−+−+ 33$

Таким образом, $( √ - √ -) x ∈ 2 − 3;2 + 3 .$

Ответ:

$( √ - √-) 2 − 3;2+ 3$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#57049

Решите неравенство $√- (x− 2)2 < 3(x− 2).$

Показать ответ и решение

(x− 2)2 < √3(x− 2) 2 √- (x − 2)( − 3(x− 2))< 0 (x − 2) (x − 2)− √3 < 0 ( √ -) (x− 2) x − 2 − 3 < 0

Решим неравенство методом интервалов.

Найдем нули:

$pict$

$√- x22+−++ 3$

Тогда ответ $( √-) x ∈ 2;2+ 3 .$

Ответ:

$( √ ) 2;2+ 3$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#55282

Решите уравнение $(x − 3)4− 3(x− 3)2− 10= 0.$

Показать ответ и решение

Сделаем замену $t= (x − 3)2.$ Тогда $( ) (x − 3)4 = (x− 3)2 2 = t2.$ Решим уравнение с заменой:

t2− 3t− 10 =0 2 2 D = 3 + 4⋅10= 49= 7 3±-7 t1,2 = 2 [ t= 5 t= −2

Сделаем обратную замену:

[ (x− 3)2 = 5 (x− 3)2 = −2

Заметим, что так как $2 (x− 3) ≥ 0$ для любого $x,$ то второе уравнение совокупности решений не имеет.

Решим первое уравнение:

(x − 3)2 = 5 2 (√ -)2 (x − 3) − 5 = 0 ( √-) ( √-) x− 3− 5 x− 3+ 5 = 0 [ √ - [ √ - x − 3 −√ 5= 0 ⇔ x= 3+ √ 5 x − 3 + 5= 0 x= 3− 5

Ответ:

$√ - √ - 3 + 5; 3− 5$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#54968

Решите уравнение $---1---+ -3--− 10= 0. (x− 1)2 x− 1$

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x − 1 ⁄= 0 ⇔ x⁄= 1.$

Сделаем замену $-1--= t. x− 1$ Тогда

( )2 ---1-2-= --1-- = t2 (x− 1) x − 1

Решим уравнение относительно новой переменной:

2 t + 3t− 10 =0 D = 32+ 4⋅10= 49= 72 −3 ±7 t1,2 =--2--- [ t1 = − 5 t2 = 2

Сделаем обратную замену:

⌊ ⌊ -1---=− 5 x− 1= − 1 |⌈ x− 1 ⇔ |⌈ 5 ⇔ -1---=2 x⁄=1 x− 1= 1 x− 1 [ 2[ x= 1 − 0,2 x= 0,8 ⇔ x= 1 +0,5 ⇔ x= 1,5

Ответ:

$x ∈{0,8;1,5}$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Предыдущий раздел

Следующий раздел