а) Если в сумме есть слагаемое 111, то осталось составить сумму из слагаемых 1 и 11. Но даже из единиц сделать это невозможно, ведь они в сумме дадут как минимум 56.

Значит, все слагаемые равны 1 или 11. Пусть слагаемых равны 11, тогда оставшиеся слагаемых равны 1. Можем составить уравнение:

Получили, что такое возможно, если взять 7 слагаемых по 11 и 45 слагаемых по 1:

При этом здесь ровно единиц.

б) Аналогично рассуждениям из пункта а) понимаем, что из единиц составить сумму 12 невозможно, значит, слагаемого 111 быть не могло.

Пусть слагаемых равны 11, тогда слагаемых равны 1. Можем составить уравнение:

Данное уравнение имеет только нецелое решение, значит, сумму 123 получить нельзя.

в) Заметим, что четырёхзначное число не больше Значит, чисел 1111 мы можем составить не более 9, а числа больше 1111 составлять нельзя.

• Если мы составили 9 чисел 1111, то в них мы задействовали 36 единиц. Тогда из оставшихся единиц будут образованы еще какие-то натуральные числа, значит, итоговая сумма будет более 9999.
• Если мы составили 8 чисел 1111, то их сумма равна 8888. Помимо этих 32 единиц у нас остались еще единиц. Из них можно составлять только числа 111, 11 и 1. Тогда можно получить 9 чисел 111, сумма которых будет равняться 999. Очевидно, результат больше достичь нельзя. Таким образом, в этом случае наибольшее число, которое мы можем получить, равно

• Если мы составили 7 чисел 1111, а из остальных единиц мы получали числа 111, 11 или 1, то оценим максимальное число, которое можем получить.

  Заметим, что из единицы при составлении только чисел 111, 11 и 1 мы можем получить сумму не более

  

  так как

  Тогда сумма равна 8888. Таким образом, на получение числа 1111 из чисел 111, 11 или 1 нужно не менее 31 единицы. Значит, если составлено 7 или менее чисел 1111, то сумма будет не более 8888.

Таким образом, при наибольшая четырехзначная сумма, которую можно получить, равна 9887.