а) Упорядочим числа по возрастанию:

По принципу крайнего: если сумма четырех наименьших чисел больше суммы двух наибольших, то есть то сумма любых двух чисел из этого набора меньше суммы любых четырёх чисел из этого набора.

Возьмем числа

Здесь каждое следующее число, начиная со второго, на 1 больше предыдущего.

Тогда имеем:

Значит, такое возможно.

б) Возьмем такие числа:

Здесь каждое следующее число, начиная со второго, на 1 больше предыдущего.

Тогда имеем:

Значит, такое возможно

в) Пусть есть некоторая последовательность чисел

удовлетворяющая условию задачи (то есть ).

Заметим, что, одновременно заменяя на и на если это не нарушает условия мы получаем новую последовательность

удовлетворяющую условию (так как сумма первых двух чисел при таком действии остается прежней: ), причем сумма всех чисел не меняется.

Проделаем такую операцию столько раз, сколько возможно, в результате чего мы получим, что числа и заменятся либо последовательно идущими числами и (например, если числа и равнялись 5 и 10, то мы их заменили на числа 7 и 8), либо отличающимися друг от друга на 2, то есть и (например, если числа и равнялись 5 и 9, то мы их заменили на числа 6 и 8). Далее работаем с последовательностью чисел где и такие, как описано в предыдущем предложении, а остальные остались прежними:

Рассмотрим «хвост» этой последовательности:

«Приближая» члены этого хвоста к то есть уменьшая члены так, чтобы их порядок оставался прежним, но разница между каждым членом и становилась меньше, мы получаем новую последовательность, которая продолжает удовлетворять условию «сумма первых четырех членов больше суммы последних двух» (так как сумма первых четырех членов не меняется, сумма последних двух становится только меньше), но сумма всех сорока чисел при этом становится меньше. Следовательно, у такой последовательности:

сумма всех чисел в последовательности будет меньше, чем у взятой изначально, значит, это действие приводит нас к построению последовательности с наименьшей возможной суммой всех членов.

Проделаем теперь следующую операцию: уменьшим одновременно на 1 члены последовательности

столько раз, сколько нужно, чтобы получить новую последовательность

Тогда, если мы проделали эту операцию раз, сумма первого и второго членов осталась прежней, сумма третьего и четвертого членов уменьшалась на а сумма последних двух членов уменьшалась на значит, все так же сумма первых четырех чисел больше суммы последних двух. Зато сумма всех сорока чисел стала еще меньше.

«Приближаясь» аналогично ко второму числу, то есть к (пусть мы каждый член, начиная с уменьшили на 1 раз), мы уменьшаем сумму первых четырех членов и сумму последних двух членов на следовательно, все так же сумма первых четырех чисел больше суммы последних двух. Зато сумма всех сорока чисел стала еще меньше.

Значит, получаем такую последовательность чисел, у которой, как следует из всего построения, сумма будет наименьшей:

Запишем для обоих видов последовательности условие о том, что сумма первых четырех чисел больше суммы последних двух:

Тогда получаем такие два вида последовательности:

Очевидно, что у 1-го вида сумма всех сорока чисел меньше, чем у 2-го вида, и она равна 2220.