а) Упорядочим числа по возрастанию:

Из условия задачи следует, что

Предположим, что Тогда имеем:

Рассмотрим сумму

Получили противоречие, следовательно, наибольшее число не может равняться 16.

б) Если среднее арифметическое 11-ти чисел равно 10, то их сумма равна 110:

Рассмотрим такую схему:

Следовательно,

Тогда Действительно, если то и то есть что неверно.

Если то значит,

Тогда получаем

Cледовательно, — противоречие. Значит, среднее арифметическое всех 11-ти чисел не может равняться 10.

в) Из пункта б) следует, что сумма всех 11-ти чисел равна

Следовательно, если нужно найти наименьшее значение среднего арифметического всех 11-ти чисел, то нужно найти наименьшее значение Тогда нужно найти наибольшее значение

Рассмотрим сумму

Так как она фиксированна, то чем больше мы делаем сумму тем меньше мы делаем сумму Следовательно, тем меньше мы делаем каждое из слагаемых Каждое из этих пяти слагаемых будет наименьшим, если это будут подряд идущие натуральные числа, то есть отличающиеся друг от друга на 1.

Пусть

Тогда будет максимальна, если мы возьмем максимальные и то есть Тогда получаем

Таким образом, при мы получаем, что сумма последних семи чисел равна 98, сумма Нетрудно показать, что существуют такие которые удовлетворяют условию задачи.

Допустим, что

Следовательно, у нас есть пример, при котором

Докажем, что не может быть больше 23. Предположим, что Тогда по тому же принципу, который использовался в пункте б), Следовательно,

Но тогда

Получили противоречие. Следовательно, и для построен пример.

Тогда и

То есть наименьшее значение, которое может принимать среднее арифметическое всех 11-ти чисел, равно