а) Пусть — количество дней, в течение которых девочки фотографировали. Тогда в последний день Наташа сделала фотографий, Маша — фотографий. Предположим, что

Следовательно, всего Наташа сделала фотографий (сумма первых пяти членов арифметической прогрессии), Маша: фотографий. Тогда можно составить уравнение

где — любые натуральные числа. Из полученного уравнения мы видим, что можно подставить вместо и любые натуральные числа и никакого противоречия не будет.

Пусть Тогда на пятый день Наташа сделала 328 фотографий, Маша — 5 фотографий. Всего Наташа сделала фотографий, Маша сделала фотографий. И действительно,

Таким образом, ответ: да.

б) Предположим, что Поступая аналогично пункту а), получим следующее уравнение

Так как — натуральные числа, то нет ни одного натурального числа, удовлетворяющего полученному уравнению. Следовательно, ответ: нет.

в) В общем виде условие, что Наташа сделала суммарно на 1615 фотографий больше, чем Маша, можно записать так:

Заметим, что

Так как в последний день Маша сделала фотографий, и это число меньше 30, то отсюда получаем или (так как числа и — натуральные).

Следовательно, можно сказать, что

Из уравнения

Тогда можно сделать вывод, что равно либо 5, либо 17, либо 19. Рассмотрим все три случая.

1. Пусть Тогда Также тогда Следовательно, сумма сделанных Наташей фотографий равна

   

   причем равенство достигается, когда

2. Пусть Тогда Следовательно,

   

3. Пусть Тогда Тогда

   

Таким образом мы видим, что наибольшее количество фотографий будет сделано Наташей за 19 дней, если

Выполним проверку. Наташа делала 96, 97, …, 114 фотографий в 1, 2, …, 19 день соответственно.

Маша делала 11, 12, …, 29 фотографий в 1, 2, …, 19 день соответственно.

Всего Наташа сделала фотографий.

Всего Маша сделала фотографий.

Действительно,