Уравнения реакций:
BaCl₂ + 2H₂O = Ba(OH)₂ + H₂ + Cl₂ (электролиз)
BaCl₂ + Na₂CO₃ = 2NaCl + BaCO₃
Ba(OH)₂ + Na₂CO₃ = 2NaOH + BaCO₃

1 моль BaCl₂ содержит 90 моль протонов.
1 моль H₂O содержит 10 моль протонов.
m(протонов) = 500 * 0,53 = 265 г
n(протонов) = 265 моль

Пусть в смеси было x моль BaCl₂ и y моль H₂O
Тогда
90x + 10y = 265
208x + 18y = 500
x = n(BaCl₂) = 0,5 моль
y = n(H₂O) = 22 моль

n(Cl₂) = 0,896 / 22,4 = 0,04 моль
n(H₂) = n(Cl₂) = 0,04 моль
m(H₂) = 0,08 г
m(Cl₂) = 0,04 * 71 = 2,84 г

n(Na₂CO₃) = 63,6 : 106 = 0,6 моль
n(Na₂CO_{3 осталось}) = n(Na₂CO₃) - n(BaCl_{2 исходный}) = 0,6 - 0,5 = 0,1 моль
m(Na₂CO₃) = 0,1 * 106 = 10,6 г

n(BaCO₃) = n(BaCl_{2 исходный}) = 0,5 моль
m(BaCO₃) = 0,5 * 197 = 98,5 г
m(конечного раствора) = 500 + 63,6 - 0,08 - 2,84 - 98,5 = 462,18 г
w(Na₂SO₄) = 10,6 : 462,18 * 100 = 2,3%