Первое уравнение равносильно:

Первая система задает в области под прямой часть окружности с центром в и радиусом Вторая система задает в области над прямой часть окружности с центром в и тем же радлиусом. Заметим, что эти окружности пересекаются, и пересекаются на прямой Назовем множество, являющееся объединением этих двух частей окружностей

Тогда требуется найти такие положения прямой при которых она с множеством имеет более двух точек пересечения.

Заметим, что угловые коэффициенты прямых и в произведении дают следовательно, эти прямые взаимно перпендикулярны, таким образом, прямая является осью симметрии для и для прямой следовательно, если касается одной окружности из то она касается и второй окружности из

Найдем граничные положения этой прямой:

Следовательно, находясь в розовой области, прямая имеет с более двух общих точек.

касается окружностей в точках и Найдем задавая это положение следующим образом: расстояние от центра второй окружности до прямой равно радиусу окружности

Нам подходит меньшее (когда прямая касается окружности снизу), то есть

аналогично предыдущему пункту

Нам подходит большее (когда прямая касается окружности сверху), то есть

Найдем координаты точек и как точек пересечения и окружности

Следовательно, из следует

:

аналогично предыдущему пункту

Следовательно,