а) Пусть — количество дней, в течение которых девочки фотографировали. Тогда в последний день Наташа сделала фотографий, Маша — фотографий. Предположим, что . Следовательно, всего Наташа сделала фотографий (сумма первых пяти членов арифметической прогрессии), Маша — фотографий. Тогда можно составить уравнение

— любые натуральные числа. Из полученного уравнения мы видим, что можно подставить вместо и любые натуральные числа и никакого противоречия не будет. Пусть . Тогда на пятый день Наташа сделала 328 фотографий, Маша — 5 фотографий. Всего Наташа сделала фотографий, Маша сделала фотографий. И действительно, . Таким образом, ответ: да, могли.

б) Предположим, что . Поступая аналогично пункту а), получим следующее уравнение

Так как — натуральные числа, то нет ни одного натурального числа, удовлетворяющего полученному уравнению. Следовательно, ответ: нет.

в) В общем виде условие, что Наташа сделала суммарно на 1615 фотографий больше, чем Маша, можно записать так:

Заметим, что . Так как в последний день Маша сделала фотографий, и это число меньше 30, то отсюда получаем или (так как числа и — натуральные). Следовательно. можно сказать. что .

Из уравнения

тогда можно сделать вывод, что равно либо 5, либо 17 , либо 19. Рассмотрим все три случая.

1.

Пусть . Тогда . Также тогда . Следовательно, сумма сделанных Наташей фотографий равна причем равенство достигается, когда .

2.

Пусть . Тогда . Следовательно,

3.

Пусть . Тогда . Тогда

Таким образом мы видим, что наибольшее количество фотографий будет сделано Наташей за 19 дней, если .

Выполним проверку. Наташа делала фотографий в день соответственно. Маша делала фотографий в день соответственно. Всего Наташа сделала фотографий. Всего Маша сделала фотографий. Действительно, .