Пусть – количество знаков числа . Тогда уравнение можно переписать в виде:

Рассмотрим случаи:

 

1) Пусть . Тогда уравнение примет вид:

Так как – натуральное число, то . Так как – натуральное число, то . Следовательно, полученное уравнение может иметь решения, если обе части равны . Тогда , а . Получили противоречие (в числе два знака).

 

2) Пусть . Тогда . Тогда уравнение примет вид:

Данное уравнение не имеет целого решения.

 

3) Пусть и , то есть . Тогда:

Если , то уравнение примет вид Откуда получаем и . Следовательно, пары решений: и .
Если , то уравнение примет вид Данное уравнение нужно решить в натуральных числах. Число может быть равно лишь (иначе выражение в скобках будет отрицательным), но не подходит.
Если , то уравнение примет вид Очевидно, оно также не имеет решения в натуральных числах.
Рассмотрим уравнение при : Тогда , а , то есть левая часть отрицательна, а правая – положительна. Следовательно, решений нет.

 

4) Докажем, что уравнение не имеет решений ни при каких и так, что , , .
Заметим, что для произвольного можно сказать, что .

Предположим, что уравнение имеет решения.
 

 

 
Следовательно, должно быть выполнено: Как говорилось ранее, , следовательно, Следовательно, должно быть выполнено: Докажем, что при любых (рассматриваемых в данном случае) верно неравенство: Это будет означать, что предположение неверно и уравнение не имеет решений.
Докажем его методом математической индукции.
При оно верно: Предположим, что оно верно при : Докажем, что оно верно при : Умножим обе части неравенства на : Таким образом, получили требуемое неравенство при , чтд.