Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Тимур придумал бесконечную последовательность действительных чисел, в которой первые 10 членов натуральные числа, а каждый член, начиная с третьего, равен остатку от деления предпредыдущего члена на предыдущий член, либо (то есть, например, равен остатку от деления на , либо ).
а) Приведите пример такой последовательности.
б) Назовём периодом последовательности наименьшее натуральное число , такое что, начиная с некоторого номера , для любого выполняется . Найдите период последовательности Тимура.
а) Будем искать такую последовательность в виде
Данная система эквивалентна системе
Таким образом, можно взять, например, , . При этом получим последовательность
б) Если какой-то из членов последовательности равен , то, начиная с него, все члены последовательности равны (так как результат деления на не может совпасть ни с каким действительным числом).
Пусть никакой из членов последовательности не равен .
1) Пусть . Так как остаток от деления не может быть больше делителя, то , то есть последовательность убывает.
При этом остатки от деления натуральных чисел будут натуральными числами ( мы запретили), то есть каждый следующий член последовательности будет натуральным числом, меньшим предыдущего по крайней мере на .
Тогда член последовательности с номером должен быть натуральным числом, меньшим, чем по крайней мере на , что невозможно.
2) Пусть , тогда и этот пункт сводится к пункту 1) при помощи смены обозначений , , ..., и дословного повторения рассуждения для последовательности .
Таким образом, последовательностей, подходящих под условие, у которых никакой из членов не равен , не бывает. Тогда, начиная с некоторого номера, все члены последовательности Тимура равны и, значит, .
а)
б)
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное обучение
в Школково
Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!