Тема 19. Задачи на теорию чисел
19.17 Произвольные последовательности чисел
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела задачи на теорию чисел
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#730

Верно ли, что при любом k > 0  последовательность      √ ------  √ --
an =   n + k −   n  убывает?

Показать ответ и решение

Зафиксируем произвольное k >  0  .

Рассмотрим функцию        √ ------  √ --
f(x) =   x + k −   x  при x >  0  .

При x > 0  :

            1         1     √x-−  √x-+--k-
f ′(x) = --√------−  -√---=  --√------√---.
        2  x + k    2  x     2  x + k  x

Так как 0 < x < x + k  , то √ --  √ ------
  x <   x + k  , следовательно, f ′(x) < 0  при x > 0  , то есть функция       f  убывает на (0;+ ∞ )  , тогда f (n + 1) < f(n)  – при всяком n ∈ ℕ  , то есть последовательность an  убывает.

Ответ: Да

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!