Ошибка.
Попробуйте повторить позже
По кругу выписаны несколько целых чисел, причем каждое из чисел больше суммы двух предыдущих, если двигаться по часовой
стрелке. Например, если выписаны три числа 
и 
(нумерация по часовой стрелке), то должны выполняться три
неравенства: 
и 
а) Может ли количество чисел равняться 10?
б) Могут ли два неотрицательных числа стоять рядом, если выписано не менее 4 чисел?
в) Какое наименьшее количество отрицательных чисел могло быть выписано, если всего чисел 100?
а) Да, может, например, так:
б) Обозначим через 
общее количество чисел в круге. Пусть, не умаляя общности, 
и 
— два соседних
неотрицательных числа. Следующее за ними по часовой стрелке число 
по условию должно быть больше суммы 
а
значит, больше каждого из 
и 
Будем двигаться далее по часовой стрелке, проводя аналогичное рассуждение (нам ничто
не помешает, так как 
и 
снова неотрицательные). Получим, что при движении по часовой стрелке начиная с 
числа
строго увеличиваются, причем 
и 
следовательно, 
Однако по условию 
должно быть больше
суммы 
что невозможно при 
и неотрицательном 
Значит, два неотрицательных числа не могли стоять
рядом.
в) В предыдущем пункте мы доказали, что неотрицательные числа не могут соседствовать в круге, следовательно, отрицательных чисел должно быть не меньше половины от общего количества, то есть не меньше 50.
Допустим отрицательных ровно 50, тогда неотрицательных тоже 50, и они должны чередоваться в круге. Обозначим числа
по часовой стрелке, не умаляя общности, будем считать, что 
отрицательное. Тогда из чередования мы знаем, что
неотрицательное. По условию должно выполняться 
следовательно, 
— отрицательное число, большее, чем
Аналогично получаем (нам ничто не помешает, так как важна только отрицательность/неотрицательность числа, а она при
сдвиге на 2 по часовой стрелке сохраняется), что 
а также 
Получаем противоречивую цепочку
неравенств
 |
Значит, 50 отрицательных быть не могло. На 51 отрицательное число строится следующий пример:
а) Да
б) Нет
в) 51
| Содержание критерия | Балл |
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты | 4 |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3 |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2 |
| Верно получен один из следующий результатов: — пример в пункте а); — обоснованное решение в пункте б); — искомая оценка в пункте в); — пример в пункте в), обеспечивающий точность предыдущей оценки. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное обучение
в Школково
Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
